一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若，，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，∵CD平分△ABC的外角，∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,或写成【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.2．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)【答案】（1）解：如图，∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∴∠1=∠3∴AB∥CD（2）解：如图，由(1)得AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF∵GH⊥EG，∴PF∥GH．（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3∵∠3=2∠6，∴∠EPK=90°+2∠6∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。

（2）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠BEF+∠EFD=180°，再利用角平分线的定义去证明∠EPF=90°可得到EG⊥PF，然后利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得结论。

（3）利用垂直的定义可证得∠KGP=90°，利用邻补角的定义可证得∠EPK=90°+∠3，再由∠3=2∠6，可得到∠EPK=90°+2∠6，再利用角平分线的定义，可推出∠QPK=45°+∠6，由∠HPQ=∠QPK-∠6，即可求出∠HPQ的度数。

3．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．（1）求点A、B、C的坐标；（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数；（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标y D的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：-8的立方根是-2，∴a=-2，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，∴，解得，，不等式组的最大整数解是5，则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）（2）解：作MH∥AD，∵AD∥BC，∴MH∥BC，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠OAD=90°，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠OAD，∴∠ADO+∠BCA=90°，∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，∴∠ADM= ∠ADO，∠BCM= ∠BCA，∴∠ADM+∠BCM=45°，∵MH∥AD，MH∥BC，∴∠NMD=∠ADM，∠HMC=∠BCM，∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°；（3）解：存在，连AB交y轴于F，设点D的纵坐标为y D，∵S△ADE≤S△BCE，∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，∵A（-2，0），B（2，4），C（5，0），∴S△ABC=14，点F的坐标为（0，2），S△ABD= ×（2-y D）×2+ ×（2-y D）×2=4-2y，由题意得，4-2y D≤14，解得，y D≥-5，∵D在y轴负半轴上，∴y D＜0，∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D＜0．【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标；（2）作MH∥AD，根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD，得到∠ADO+∠BCA=90°，根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°，根据平行线的性质计算即可；（3）连AB交y轴于F，根据题意求出点F的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．4．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，E分别是x轴和y轴上的任意点．BD是∠ABE的平分线，BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C．（1）探究：求∠C的度数．（2）发现：当点A，点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时，∠C的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C的变化范围．（3）应用：如图2在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．【答案】（1）解：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠ABE＝∠OAB+90°，∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，∴2∠ABD＝2∠BAC+90°，∴∠ABD＝∠BAC+45°，又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，∴∠C＝45°（2）解：不变．理由如下：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠ABE＝∠OAB+90°，∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，∴2∠ABD＝2∠BAC+∠AOB，∴∠ABD＝∠BAC+ ∠AOB，又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，∴∠C＝∠AOB＝45°（3）解：延长ED，BC相交于点G．在四边形ABGE中，∵∠G＝360°﹣（∠A+∠B+∠E）＝50°，∴∠P＝∠FCD﹣∠CDP＝（∠DCB﹣∠CDG）＝∠G＝ ×50°＝25°【解析】【分析】（1）（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答；（3）延长ED，BC相交于点G，根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.5．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数.【答案】（1）证明:∵DC∥FP，∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，∴DC∥AB（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°，∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP，又∵∠AGF=80°，∴∠AGF=∠GFP=80°，∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH= ∠GFE=55°，∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出，，根据角的和差，由算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。

6．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值.（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；② 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值.【答案】（1）解：由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴点P在线段AB上的处（2）解：如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ= AB，∴（3）解：② 的值不变.理由：如图，当点C停止运动时，有CD= AB，∴CM= AB，∴PM=CM-CP= AB-5，∵PD= AB-10，∴PN= AB-10）= AB-5，∴MN=PN-PM= AB，当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝ AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝ AB.7．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2.①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.【答案】（1）解：①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°.∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC（2）解：∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°（3）解：设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5.即t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；（3）分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.8．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.【答案】（1）解：AB∥CD；理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD（2）解：∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：过E作EF∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90°，∵∠MCE＝∠ECD∴∠ECD＝∠MCD∴∠BAE＋∠MCD＝90°（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP【解析】【解答】解：（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.故答案为：∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出结论；（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝∠MCD，得出∠BAE＋∠MCD＝90°；（3）由平行线的性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形内角和定理得出∠CPQ＋∠CQP ＋∠PCQ＝180°，即可得出结果.9．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE=90°，OF平分∠AOD.（1）当x=19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数.（2）当x=60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动.射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间.【答案】（1）解：∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=x=19°48′，∴∠EOC=90°-19°48′=89°60°-19°48′=70°12′，∠AOD=180°-19°48′=160°12′，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD= ∠AOD= ×160°12′=80°6′；（2）解：当x=60°，∠EOF=90°+60°=150°设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，10t-4t=360-150，t=35，答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒（3）解：设射线OE转动的时间为t秒，分三种情况：①OE不经过OF时，得10t+90+4t=360-150，解得，t= ；②OE经过OF，但OF在OB的下方时，得10t-（360-150）+4t=90解得，t= ;③OF在OB的上方时，得：360-10t=4t-120解得，t= .所以，射线OE转动的时间为t= 或或 .【解析】【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数；（2）先根据x=60°，求∠EOF=150°，则射线OE、OF第一次重合时，则OE运动的度数-OF 运动的度数=360-150，列方程解出即可；（3）分三种情况：①OE不经过OF时，②OE经过OF，但OF在OB的下方时；③OF在OB的上方时；根据其夹角列方程可得时间.10．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB.（1）如图1，OP为∠AOD内的一条射线，若∠1＝∠2，求证：OP⊥CD；（2）如图2，若∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；（3）如图3.在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角.【答案】（1）解：∵OE⊥AB ∴∠AOC+∠1= ∵∠1＝∠2 ∴∠AOC+∠2=∴OP⊥CD（2）解：∵∠AOC+∠BOC= ，且∠BOC＝2∠AOC ∴∠AOC= ∵OE⊥AB ∴∠AOE= ∴∠COE= - =（3）∠AOD、∠BOC、∠FON、∠EOM【解析】【解答】解：（3）由（2）知：∠AOC=∵射线OM平分∠BOD∴∠BOM=∠DOM=∠AON=∠CON=∵OE⊥AB,OC⊥OF∴∠AOE=∠COF=∴∠AOC=∠EOF=∴∠AOD=∠BOC=∠FON=∠EOM= =2∠EOF∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD、∠BOC、∠FON、∠EOM.【分析】（1）直接根据等量代换即可证明.（2）先根据平角的定义可得∠AOC= ，再利用垂直的定义可得∠AOE= ，从而得出结论.（3）根据（2）中∠AOC= ，分别计算各角的度数，得其中∠EOF= ，根据各角的度数可得结论.11．学习千万条，思考第一条。