三角形
（复习课第2课时）
【理论支持】
根据布卢姆的掌握学习理论：学习者在学习新的知识之前，必须具备一定的基础知识和能力；学习者参与学习的动机和态度。
三角形是学生已经具有几何初步知识的基础上的延伸，利于激发学生的探求新知的兴趣和学习热情。
三角形的有关概念和性质是在线段和角有关知识基础延续，它又是多边形的有关概念与性质的基础，这些内容为以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）作下铺垫，也是研究其他图形必备的基础知识。
三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可以由三角形的概念推广而来。
三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分解为若干个三角形，利用三角形的性质进一步研究多边形性质。
本章对于学生的几何观念和推理能力的提高和发展起着非常重要的作用。
【教学目标】
知识技能：掌握本章知识结构图理解三角形的内角和定理及推论、三角形的外角及外角和、多边形的内
角和公式及外角和以及平面镶嵌的使用。
数学思考：通过学习三角形的知识以及三角形知识的延
伸，培养和发展学生的逻辑推理能力，以及数
学语言的表达能力。
解决问题：通过学习，提高学生对几何的认识以及怎样去研究几何知识。
情感态度：学会研究问题的方法，进一步发展几何观念，并且认识到数学在实际生活中的广泛运用。
【教学重难点】
1．重点：（1）三角形的内角和定理及三个推论
（2）多边形的内角和公式
2. 难点：三角形、多边形内角和定理的应用
【教学设计】
课前延伸
上节课我们回顾了三角形的定义，三条重要线段，三角形三边之间的关系，三角形的稳定性，这节课我们再来探讨三角形中角的性质以及性质的应用。
课内探究
1.通过上回布置学生自主复习，由学生进行知识展示，教
师作一些提示，可整理得：
（1）三角形的内角和定理及性质
定理：三角形的内角和等于180°
推论1：直角三角形的两个锐角互补
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
（2）三角形的外角及外角和
①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
②三角形的外角和等于180°
（3）多边形的内角和公式及外角和
①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)
②多边形的外角和等于360°
（4）平面镶嵌及平面镶嵌的条件
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平
面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地
全部覆盖
②平面镶嵌的条件：边长要相等；有公共顶点；
在一个顶点处各多边形的内角和为360°
【设计说明】初一学生在学习方面很少有自主学习和阅读
的训练，在这个环节要求学生先自主复习，然
后师生共同对本章要复习的知识进行回顾和
总结，这对学生提高自主学习的意识是有一定
的帮助的。
2.学生自主探究题
（1） 如图，BP 平分∠FBC ，CP 平分∠ECB ，∠A=40°求∠BPC
的度数.
【设计说明】针对三角形的外角和内角的性质的理解和使用
【点拨方法】可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解
【参考答案】∵∠1=)4(21∠+∠A )3(212∠+∠=∠A ∵)21(180∠+∠-︒=∠BPC ︒=∠40A ∴(()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊥+∠+∠+∠-︒=∠321)421180A A BPC
()︒=︒+︒-︒=704018021180 （2）如图，求∠A+∠C+∠3+∠F 的度数. 【点拨方法】由已知∠B=30°，∠G=80°，
∠BDF=130°，利用四边形内角和，求出
A C
E P B
F B 4 2
1
3 C A
D E F G
︒80 ︒130 ︒30 例1图
例2图
3
∠3的度数，再计算要求的值。
【参考答案】∵四边形内角和为（4-2）×180°=360°
∴∠3=360°-30°-80°-130°=120°
又∵∠A ∠C ∠F 是三角形的内角
∴∠A+∠C+∠F+∠3=180°+120°=300°
【设计说明】通过习题对四边形内角和的理解和运用
（3）已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的41，求这个多边形的边数. 【点拨方法】每一个外角的度数都是其相邻内角度数的4
1，而每个外角与其相邻的内角的度数之和为180°。
【参考答案】设此多边形的外角为x °，则内角的度数为4
1 x °. 101036360361804
1即这个多边形的边数为边数解得则=︒
︒=∴︒=︒=+
n x x x 【设计说明】这道题主要是体现了多边形内角、外角，强调
在解题过程中可以使用方程的思想。
（4）用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌？
【点拨方法】可以进行镶嵌的条件是：一个顶点处各个内角和为360°
【参考答案】正三角形的内角为︒60
正方形的内角为︒90
正六边形的内角为︒120
∴可以镶嵌。
一个顶点处有1个正三角形、2个正方形、和1个正六边形
【设计说明】这道题主要是让学生通过实际问题理解镶嵌的使用方法和条件
课后提升
1．已知：如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与的∠DFE平分线相交于点P.
求证：∠P=90°
2．在△ABC中，∠C= ∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数？
3.如图△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，EC平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE,
求∠CDF的度数.
4．某正．多边形的每一个内角等于是120°，则从它的一个顶点出发可引的对角线有（）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
【答案提示】
1．∠1、∠2、∠P在同一个三角形中可知：要求∠P的度数，可先求出（∠1＋∠2）的度数，由平行可知：2（∠1＋∠2）=180°，则∠P=90°.
2．根据三角形内角定理可知：（1）∠A＋∠ABC＋
∠C=180°(2）∠A＋∠ABD＋∠ADB=180°，由（1）可求∠A，把∠A度数代入（2）后，可求∠ABD.
3．由图可知∠CDF是△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD,而∠FCD=∠ACB－∠ACE(或∠BCE－∠BCD).
4．方法1：由内角和公式可知：正多边形内角和为：（n －
2）·180°，所以(2)180120n n
-=o o g ， 即：180n-360=120n ，n=6，因此6－3=3（条）.
方法2：由条件可知，正多边形的每一个外角都等于180°－120°=60°，则360°÷ 60°=6，6－3=3（条）.。