第 1 页（共 8 页）
（2）若方程有一个根是 0，求此时方程的另一个根． 12．（2019•怀柔区模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2k 1)x k 2 2k 0 有两个实数根 x1 ， x2 ． （1）求实数 k 的取值范围． （2）是否存在实数 k ，使得 x1x2 x12 x22 16 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由．
C． x1 1 ， x2 4 D． x1 2 ， x2 3
二．填空题（共 6 小题）
4．（2018 秋•海淀区校级期中）对于方程 x2 px 4 0 ①与方程 x2 5x q 0 ②，已知方程②的一个根比方程①的
较大根大 2，方程②的另一个根比方程①的较小根小 2，则 q ．
第 2 页（共 8 页）
根与系数的关系（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 3 小题）
1．（2018 秋•海淀区校级期中）已知 xy 1 ，且有 3x2 2018x 9 0 及 9 y2 2018y 3 0 ，则 xy 的值为 ( ) x2 y2
A． 1 2018
则 c 1 (4) 4 ，
则原方程为 x2 3x 4 0 ， 整理，得
难点．
2．（2017•西城区校级自主招生） x1 ， x2 是方程 x2 x k 0 的两个实根，若恰 x12 x1x2 x22 2k 2 成立， k 的值为 (
)
A． 1
B． 1 或 1 2
C． 1 2
D． 1 或 1 2
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据 x12 x1x2 x22 (x1 x2 )2 x1x2 代
根与系数的关系（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共 3 小题）
1．（2018
秋•海淀区校级期中）已知
xy
1 ，且有 3x2
2018x
9
0
及 9 y2
2018 y
3
0
，则
xy x2 y2
的值为 ( )
A． 1 2018
B．2018
C．3
D． 3 10
2．（2017•西城区校级自主招生） x1 ， x2 是方程 x2 x k 0 的两个实根，若恰 x12 x1x2 x22 2k 2 成立， k 的值为 (
9．（2016 春•海淀区期末）写出一个以 0，1 为根的一元二次方程 ．
三．解答题（共 3 小题） 10．（2020•东城区校级模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2a 2)x 2a 1 0 ． （1）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根： （2）若该方程两个根 x1 ， x2 满足 x12 x22 0 ，求 a 的值 11．（2019•海淀区一模）关于 x 的一元二次方程 ax2 2ax c 0 ． （1）若方程有两个相等的实数根，请比较 a 、 c 的大小，并说明理由；
5 ．（ 2017 秋 • 海 淀 区 校 级 期 中 ） 已 知 x1 ， x2 是 方 程 x2 x 9 0 两 个 实 数 根 ， 代 数 式 x13 7x22 3x2 66 的 值 为 ．
6．（2016 春•东城区校级期中）方程 2x2 (k 1)x 4 0 的一个根是 2，那么另一根是 ， k ． 7．（2016 春•大兴区期末）写出一个同时满足下列两个条件的一元二次方程 ． （1）二次项系数是 1 （2）方程的两个实数根异号． 8．（2016 春•丰台区校级月考）已知方程 x2 3x 2 0 的两根为 x1 、 x2 ，则 x1 x2 ， x12 x22 ．
A． x1 1 ， x2 4 B． x1 1 ， x2 4
C． x1 1 ， x2 4 D． x1 2 ， x2 3
【分析】利用根与系数的关系求得 c 的值；然后利用因式分解法解原方程即可．
【解答】解：依题意得 关于 x 的方程 x2 3x c 0 的两根是： x1 1 ， x2 4 ．
)
A． 1
B． 1 或 1 2
C． 1 2
D． 1 或 1 2
3．（2016 春•西城区校级期中）王刚同学在解关于 x 的方程 x2 3x c 0 时，误将 3x 看作 3x ，结果解得 x1 1 ，
x2 4 ，则原方程的解为 ( )
A． x1 1 ， x2 4 B． x1 1 ， x2 4
入已知条件中，求得 k 的值．
【解答】解：根据根与系数的关系，得 x1 x2 1 ， x1x2 k ．
又 x12 x1x2 x22 2k 2 ，
则 (x1 x2 )2 x1x2 2k 2 ， 即1 k 2k2 ，第 3Fra bibliotek页（共 8 页）
解得 k 1或 1 ． 2
当 k 1 时，△ 1 2 0 ，方程没有实数根，应舍去． 2
取 k 1． 故选： A ． 【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．
3．（2016 春•西城区校级期中）王刚同学在解关于 x 的方程 x2 3x c 0 时，误将 3x 看作 3x ，结果解得 x1 1 ，
x2 4 ，则原方程的解为 ( )
B．2018
C．3
D． 3 10
【分析】把 9 y2 2018y 3 0 两边都除以 y2 ，得 3 ( 1 )2 2018g1 9 0 ，从而知 x 、 1 是 3x2 2018x 9 0 的两
y
y
y
根，根据韦达定理可得答案．
【解答】解：Q 9 y2 2018y 3 0 ，
3 ( 1 )2 2018g1 9 0 ，
y
y
则 x 、 1 是 3x2 2018x 9 0 的两根， y
xg1 x 3 ， yy
Q x2 y2 x y 3 1 10 ， xy y x 3 3
xy 3 ， x2 y2 10
故选： D ．
【点评】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到 x 、 1 是关于 x 的方程 3x2 2018x 9 0 的两根是解题的 y