一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -
=+21，a
c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①222
121212()2x x x x x x +=+-；
②
12
1212
11x x x x x x ++=； ③22
12121212()x x x x x x x x +=+；
④22
21121212x x x x x x x x ++=
2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22
121212()()4x x x x x x -=+-；
⑥12()()x k x k ++2
1212()x x k x x k =+++；
⑦12||x x -==
⑧22
212
121222222
121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；
⑨12x x -==
⑩12||||x x +===
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．
当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．
当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．
【典型例题】
类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）
1. 【思路点拨】
（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2
有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围；
【答案与解析】
【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．
举一反三：
【变式】（2015春•杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．
（1）当m=0时，求方程的根；
（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，
解得x1=0，x2=4；
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，
∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，
∴m2﹣4m﹣45=0，
解得m1=9，m2=﹣5．
当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；
当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；
故m的值为9；
（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，
解得：m=﹣1，
∴方程变为x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1=9，
代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，
解得：m=15或3，
当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，
解得：x=9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形；
当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，
解得：x=1或9，
此时三角形的周长为
9+9+1=19．
2.（2015•肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2
+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x 1﹣x 2）2
；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭．
【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2
与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根
之和的形式，代入数值计算即可．
【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．
（1）（x 1﹣x 2）
2
=x 12+x 22
﹣2x 1x 2
=x 12+x 22
+2x 1x 2﹣4x 1x 2
=（x 1+x 2）2
﹣4x 1x 2
=
=10． （2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫
+
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
=x 1x 2+1+1+
=
=．
【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
举一反三：
【：388522 根与系数的关系---例3】
【变式】不解方程，求方程2
2310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
【答案】（1）
13
4
； （2）
3．
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）
3.（2016秋•灌云县期末）已知关于x 的方程x 2
+ax ﹣2=0． （1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．
【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2
+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．
【答案与解析】解：（1）在方程x 2
+ax ﹣2=0中，△=a 2
﹣4×1×（﹣2）=a 2
+8，
∵a 2
+8≥8，
∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，
解得：a=﹣1．
设方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．
∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．
【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程2
5230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】
设方程2
5230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225
x x +=-
，1235
x x =-．
设所求方程为2
0y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-
，22
1y x =-， 从而12121212122
11112
5()335
x x p y y x x x x x x -
⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，
1
21212
11153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
故所求作的方程为2
25
033
y y +
-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个
数
为根的一元二次方程是
.”可以用这种语言形式记忆
“2
x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。