一元二次方程根与系数关系知识定位设一元二次方程有二实数根，则，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。

其逆命题也成立。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。

而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。

知识梳理知识梳理1：求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

知识梳理2：构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

知识梳理3：证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式知识梳理4：研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。

关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；⑶方程有异号二根，ac<0；⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；知识梳理4：求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。

例题精讲【试题来源】【题目】已知a 2＋2a=3,b 2＋2b=3, a b ＋ba= . 【答案】83- 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知关于x 的一元二次方程 x 2－2x －a 2－a=0﹙a ＞0﹚. (1) 证明：这个方程的一个跟比2大，另一个根比2小.(2) 若对于a=1,2…,,2011,相应的一元二次方程的两个根分别为α1，β1，α2，β2，,,α2011，β2011，求【答案】（1）见解析 （2）20111006- 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p 的取值范围是.p<-【答案】1【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】设a、b是方程x2＋68x＋1=0两根，c、d是方程x2 86x＋1=0两根，则﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚﹙a－d﹚﹙b－d﹚的﹜值为。

【答案】2464【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2=0的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根的平方和，则a、b、c的关系是（）A.a2=bcB.b2=acC.c2=abD.abc=1【答案】B【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】设方程x 2＋x －1=0 的两个实根是x 1,x 2，求5312410x x 的值。

【答案】-42 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】课后两周练习【难度系数】4【试题来源】【题目】设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0A．1，﹣3 B．1，3 C．﹣1，﹣3 D．﹣1，3【答案】C【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是A．1B．﹣l C．D．【答案】C【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】【题目】两个不同质数a、b恰好是整系数方程x2﹣99x+m=0的两个根，则的值是（）A．9413 B．C．D．【答案】【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3﹣α2β﹣αβ2+β3=0，求证：p=0，q＜0．【答案】见解析【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2﹣6x+4=0的两根，则△ABC的面积为_________．【答案】6【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根，则α4+3β的值为_________．【答案】【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知整数p,q 满足,2010=+q p 且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则p= ． 【答案】-2278 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】对于一切不小于2的自然数n,关于x 的一元二次方程02)2(22=-+-n x n x 的两根记为),2(,≥n b a n n 则.________)2)(2(1.....)2)(2(1)2(21200720073322=--+--+--b a b a b a ）（【答案】【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】阶段测验 【难度系数】5【试题来源】【题目】若1≠ab ，且有bab b a a 则及,0520019092001522=++=++的值为（ ） A ．59 B ．95 C ．52001- D ．92001-【答案】A 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】设a ，b 为整数，并且一元二次方程x 2+（2a+b+3）x+（a 2+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax 2+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β为根的整系数一元二次方程是（ ）A ．2x 2+7x+6=0B ．2x 2+x-6=0C ．x 2+4x+4=0D ．x 2+（a+b ）x+ab=0 【答案】A 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0的两根x 1，x 2满足x 12-x 22=0，双曲线y=xk4（x ＞0）经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C ，求S △OBC ．【答案】【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2．【答案】（1）见解析（2）【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【题目】设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）10【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．【答案】-3【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】课后一个月练习【难度系数】5【试题来源】【题目】若，且，试求代数式的值。

【答案】29 【解析】因为，由根的定义知m ，n 为方程的二不等实根，再由韦达定理，得 ，∴【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】阶段测验 【难度系数】5【试题来源】【题目】设一元二次方程的二实根为和。

（1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。

求所有这样的一元二次方程。

【答案】（1）（2），，，，01x 2x 2=++，01x 2=-【解析】（1）由韦达定理知，。

，。

所以，所求方程为。

（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论 （p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。

于是，得以下七个方程，，，，，01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。

其余六个方程均为所求。

【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】阶段测验【难度系数】5【试题来源】【题目】已知a ，b ，c 为实数，且满足条件：，，求证a=b 。

【答案】见解析【解析】证明 由已知得，。

根据韦达定理的逆定理知，以a ，b 为根的关于x 的实系数一元二次方程为 ①由a ，b 为实数知此方程有实根。

∴0c 2=，故c=0，从而。

这表明①有两个相等实根，即有a=b 。

说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。

另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b 。

此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。

【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】 【题目】设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a 的范围。

⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1。

思路 设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。

【答案】（1）3a 7-≤<- （2）7a -< 【解析】设此方程的二根为，，则 ，。

⑴方程二根均大于1的条件为解之得：3a 7-≤<-⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为⎪⎩⎪⎨⎧<+---=-->--=∆.01)a 2(a 6)1x )(1x (,0)a 6(4a 4212 解之得：7a -<。

【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程。

【答案】， 【解析】原方程可变形为。

令，。

则 , 。

由韦达定理逆定理知，以a ，b -为根的一元二次方程是。

解得，。

即a=8-或a=9。

或通过求解x 结果相同，且严谨。

，（舍去）。

解之得，。

此种方法应检验：是或否成立【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知a 和b 是方程的二实根，则5325a b +=_____________。