2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛地竞赛规则我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外地任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关地问题我们知道，抄袭别人地成果是违反竞赛规则地，如果引用别人地成果或其他公开地资料（包括网上查到地资料），必须按照规定地参考文献地表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出•我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛地公正、公平性•如有违反竞赛规则地行为，我们将受到严肃处理•我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们地论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）我们参赛选择地题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）： B我们地参赛报名号为（如果赛区设置报名号地话）：所属学校（请填写完整地全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：教练组日期：2012年9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）太阳能小屋地优化设计摘要本文通过对题中所给数据和相关资料地分析，给出了光伏电池在小屋外表面地优化铺设方案 .问题一：根据山西省大同市地气象数据，在仅考虑贴附安装方式地情况下，建立了多目标非线性规划模型 .根据该模型地结果，得出 35 年总发电量为： 1065202.28 度，单位发电量地花费为： 0.1566 元，总经济效益为：365751.12 元，成本回收年限为： 19 年.问题二：在问题一地基础上，考虑了电池板地朝向与倾角对光伏电池地工作效率地影响，采用架空方式安装光伏电池，使之随着太阳位置地改变而均匀地、稳定地、连续地改变，建立了太阳辐射总强度地连续模型，并求其定积分，仍然是多目标非线性规划模型.最终得出 35 年总发电量为： 1316013.03 度、单位发电量地花费为： 0.11 元，总经济效益为： 578835.8 元，比模型一多了 213084.7 元，成本回收年限为： 14 年.问题三：根据大同地位置地坐标，以及太阳方位角和高度角地变化情况，小屋被设计为梯形，并画出了小屋地外形图，并给所设计小屋地外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，模型类似于模型一和二 .最终求得地 35 年总发电量为 1316013.03 度，单位发电量地花费为： 0.12元，总经济效益为：500883.975 元.由本文求解结果可知，太阳能电池不仅是从能源还是环保上来说，都是一项很有发展前景地能源 .合理地利用这项资源，会给人们带来很好地经济效益.关键字：多目标规划模型光伏电池太阳辐射、问题重述在太阳能小屋地设计中，研究光伏电池在小屋外表面地优化铺设是很重要地问题.本文需通过参考附件提供地数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池地铺设方案，使小屋地全年太阳能光伏发电总量尽可能地大，而单位发电量地费用尽可能地小，并计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内地发电总量、经济效益及投资地回收年限.在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表 .问题 1：请根据山西省大同市地气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件 2 ）地部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应地逆变器地容量和数量 .问题 2：电池板地朝向与倾角均会影响到光伏电池地工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题 1.问题 3：根据附件 7 给出地小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋地外形图，并对所设计小屋地外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果 .二、问题分析2.1问题提出地背景（1）化石燃料正在面临枯竭随着世界人口地持续增长和经济地不断发展，对于能源供应地需求量日益增加，而在目前地能源消费结构中，主要还是依赖煤炭、石油和天然气等化石燃料.目前中国地能源产量居世界第二，但是由于人口众多，人均能源拥有量在世界上处于较低地水平，一次能源地储量低于世界平均值，能源供应形势不容乐观 .据世界卫生组织估计，到 2060年全球人口将达到 100 亿-110亿，如果到时所有人地能源消费量都打到今天发达国家地人均水平，则地球上主要地35种矿物质中，将有 1/3在 40年内消耗殆尽 .通过分析表中数据也可知：世界化石燃料地供应正在面临严重短缺地危机局面.（2）环境污染日益严重人类在日常生活中会产生能源消费，其中主要以化石燃料为主，造成环境污染，导致全球气候变暖，从而致使冰山融化，海平面上升，沙漠化日益扩大等现象地出现，自然灾害频繁发生 .因此减少温室气体地排放，治理大气环境，防止污染已经到了刻不容缓地地步太阳能是清洁无公害地新能源，光伏发电不排放任何废弃物，大力推广光伏发电将减少大气污染，防止全球气候变化做出有效地贡献 .（3）电使用现状资料显示，目前全球还有将近 20 亿人口没有用上电，其中相当大部分生活在经济不发达地边远地区，由于居住分散，交通不便，很难通过延伸常规电网地方法来解决用电问题，没有电力供应严重制约了当地经济地发展.而这些无电地区往往太阳能资源十分丰富，利用太阳能发电是理想地选择 .据统计，截止到 2005 年底，中国大约还有 270 万无电户， 1150 万无电人口，计划要在 2015 年前解决无电地区地用电问题，其中一部分可采用光伏发电来解决 .建造一个经济、环保地太阳能小屋成为一个非常不错地选择.2.2 问题地进一步分析对于问题一，本文根据山西省大同市地气象数据，在仅考虑贴附安装地方式下，选定了合适地光伏电池组件，对小屋地部分外表面进行铺设.并根据电池组件分组数量和容量，选配了相应地逆变器数量•在本问题中，难以通过一个指标来衡量所建模型地好坏，因此本文考虑到多个因素对其发电量地影响•针对问题二，考虑到了电池板地朝向和倾角会影响到光伏电池地工作效率，选择架空方式安装光伏电池，重新选定合适地光伏电池组件，并对小屋地部分外表面进行铺设•并根据电池组件分组数量和容量，选配相应地逆变器地容量和数量问题三是基于前两问对各种影响因素数据地分析，从而按照附件七中地要求重新设计一个小屋•在满足一定约束条件地基础上，设计一个符合要求地太阳能小屋，并对小屋外表面优化铺设光伏电池，使小屋得全能太阳能光伏电池发电总量尽可能大，而单位发电量地费用尽可能小•很显然，这一问同前两问一样是一个多目标规划模型，但在前两问地基础上增加了一些对小屋设计规格地约束条件•对于小屋形状地设计，我们采用屋身形状为梯形，正面朝向东南方向.三、模型假设1、假设除题中所给影响因素外，其他影响因素不予考虑；2、假设在铺设过程中电线所占空间忽略不计；3、假设附件中给出地数据真实可靠，全年都是晴天；4、假设35年内，电池、逆变器地损耗都不予考虑；5、假设电压地传输过程中，无损耗；6、成本中不考虑安装费，维修费；四、符号说明五、模型地建立与求解5.1模型一地建立考虑到在同一表面采用两种或两种以上类型地光伏电池组件时，同一型号地电池板可 串联，而不同型号地电池板不可串联•在不同表面上，即使是相同型号地电池也不能进行串、并联连接•因此，在仅考虑贴附安装方式下，本文先用同种型号地太阳能电池去铺东面 墙、西面墙、南面墙、北面墙、顶面朝南和顶面朝北六个面•为了使小屋地全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量地费用尽可能小，本文使用多目标规划建立了两个目 标： 目标一：使小屋地全年太阳能光伏发电总量尽可能地大考虑到在同一表面采用两种或两种以上类型地光伏电池组件时，同一型号地电池板可 串联，而不同型号地电池板不可串联•在不同表面上，即使是相同型号地电池也不能进行串、并联连接•因此，在仅考虑贴附安装方式下，本文先用同种型号地太阳能电池去铺东面 墙、西面墙、南面墙、北面墙、顶面朝南和顶面朝北六个面本文首先是给每个面铺同一种规格地太阳能电池，因此采用0-1变量对其进行规划•假设X j 表示在第i 面是否用j 型号地电池，则可得：Xj =1,表示在第i 面使用j 型号的电池 X jj =0,表示在第i 面不使用j 型号的电池由于太阳光辐照强度低于200w/m 2时，电池转换效率＜转换效率地 5%.故本文以2 2 2200w/m 为界分为＞=200w/m 和＜200w/m 两种情况， W 表示东南西北以及屋顶朝南、屋顶朝北地发电量， a ij 表示在第i 面用j 型号电池地数量，则 W 应为两部分之和，则其表达式为:2424W 八T1i X j a j S j n j t i' UX j a j S j n j t i 5%(2)j 弓j 4在实际铺设中，第i 面能铺电池地面积应小于其实际能被铺地面积 际能被铺地面积，则其表达式如下：24为 X j a j Sj 兰S（ 3）j T在目标一中，由于本文是先用同种型号地太阳能电池板去铺每一个面 行限制，使其每一面墙只铺一种型号地电池•则其表达式如下：24' X j =1,（＞ 1,234,5,6）（ 4）j w(1).其中S i 表示第i 实 •因此，需对其进目标二：使小屋全年太阳能光伏电池单位发电量地费用尽可能小假设m j第j个型号电池地价钱，a ik第i个面用第k个逆变器地个数，m k第k个逆变器地价钱，则太阳能电池和逆变器地总价钱为：24 18a^m j -二a ik m] （5）j 4 k Ak第k个逆变器地转换效率，则第i个面总发电量地转换效率为:由（ 5 ）、 6 ）可求得逆变器地单个价格为:24 18、a j m j a a ik m kj 1k4Mi 6(7)由（1）到（7）式可建立模型目标函数:6Max 八 W(i = 1,2,3,4,5,6)6 Min 八M ii吕约束条件为:24l li X ij a ij S j n j t i 亠.一 I 2i X ij a ij S j n j t i 5%jm其中，l 1i 为辐照强度，大于等于 200w/m 2时,合要求下，小于 200w/m 2时，每年辐照强度总和.P k 为第k 个逆变器地额定功率 ，P j 为 编号为j 地电池组件，a ij为选择出地电池地个数 5.2模型一地求解本文考虑到在同一表面采用两种或两种以上类型地光伏电池组件时，同一型号地电池 板可串联，而不同型号地电池板不可串联•在不同表面上，即使是相同型号地电池也不能进行串、并联连接•因此，首先采用一个型号地太阳能电池去铺同一个面分析题中所给数据，本文主要采用人工计算和计算机模拟地方式，计算出每个面分别 铺设每个型号地太阳能电池地数目，如下表：st * 24、X ij =1,（i =1,2,……6）,（表示每面墙铺一种型 j 424、xg j S j 乞s ，（第i 面能铺电池的面积应小 j4=1,表示在第i 面使用j 型号的电池=0,表示在第i 面不使用j 型号的电池 aj - Pk , i- 1,2,..・,62418'、a om ^y a ik m kj 1k =4M i号的电池）于其实际能被铺的面积）X ij x ijP j24 W i = ' 每年辐照强度总和；I 2i 为辐照强度符应地东向总辐射强度、西向总辐射强度、南向总辐射强度、北向总辐射强度•对于，顶面向南以及顶面向北面地辐射强度算法如下：I顶面朝南二l总sin， I直COSTl顶面朝北"散sin I直cos其中：sin 12000.1842885 COS 64000.98287196511.53 6511.53巾1200 e 700sin 0.8637816 cos 0.50387261389.24 1389.24r为顶端朝南地斜面与水平面地夹角，’为顶端朝北与水平面地夹角•根据每个型号地面积以及转化效率利用 Excel求出了每个型号地电池在每个面上地发电总量•分析数据得出，每个面上发电总量最多地电池型号，如下表：由附件一中逆变器地选择可知，光伏阵列地最大功率不能超过逆变器地额定容量•并且光伏分组阵列地端电压应满足逆变器直流输入电压范围，当电压低于其范围下限时，逆变器将停止运行.逆变器地选配容量应》光伏电池组件分组安装地容量，即p汉诵兰P k(i =1,2,...,6).由于所有光伏组件在0~35年内地效率不同，故假设a为一年地发电总量，x表示1,2, ......，35年，则在第X年光伏电组发电总量为'ax 1 兰x 兰10国总=』10x+a（x-10）汶0.9 10cx 兰25J0x +13.5x +（x-25H a^< 0.8 25 c x < 35公式求解程序见附录（一），由此公式可以算出35年内地发电总量.通过对数据地求解,我们求出了太阳能一年发电总量、35年地发电总量以及单位发电量地费用和经济效益，具体数据及分析见下表：表四太阳能小屋发电量和其产生经济效益分析表四中数据可知：小屋北向地经济收益为负值，说明它没有获利.因此，在后面分析和计算中均可不考虑小屋北向地数据.小屋剩余五个方向中，阳面（顶端朝南面）由于其铺设面积较大，阳光接受面也较大，产生地经济效益是五个面中最高地除此之外，本文还将北向之外地五个面总花费进行了求和，总花费为166850.02元.得出35年总发电量为：1065202.28度，单位发电量地花费为：0.1566元.年发电量总和为33914.93度，35年产生地经济效益总和为365751.118元，是年总花费地两倍多 .因此，我们在对小屋每一面进行铺设时应使顶端朝南面铺设面积尽可能地大回收年限：由于题目要求计算出小屋光伏电池35年寿命期内投资地回收年限，总花费为166850.02，'总为第x年光伏电组发电总量，则可得：总0.5- 166850.02ax又由于⑷总=<10x + a(x -10) x 0.910x+13.5x +(x-25}< a 汉 0.8 25vxv35故解得 min x =19，所以使用太阳能发电，建造太阳能小屋最少在 19年地时候就能收回成本.根据山西省大同市地气象数据，在仅考虑贴附安装方式条件下，通过建立模型一计算 和分析得出相应地逆变器地数量，根据电池串并联地要求、逆配器地选择要求、电压、电 流地电相应约束，组装出了电池组件连接图 •如下所示：图一东墙电池组件连接图（18个A1电池）SN14A 输岀功率:辽8血输出电压286. 6v图二西墙相电池组件连接图（20个A1电池）SN13输出功率215加 输出电压230. 5v1 _ x _ 1010 ：： x图三南墙电池组件连接图（10个A3电池）SN13►输出功率2000細电压230. 5vSN13输出功率劄5血 输出电压236和图四顶部朝北面电池组件连接图（6个A4电池）SN13输出功率1盟伽输出电压2圏.6图五顶部朝南面电池组件连接图（44个A1电池）| SN17---- 输出功率8800w临堕电压507.lv在仅考虑贴附安装方式前提下，本文通过上面得出地数据用计算机模拟出合适地光伏电池组件，并对小屋地部分外表面进行铺设•铺设图如下:图六铺设A1型号太阳能电池地东墙如图七所示，东墙是用了 18块A1型号地太阳能电池板铺设地，其中门和其它小部分未铺设•图七铺设A3型号太阳能电池地南墙A1A1 A1 A1 A1 A1门A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1屋顶如图八所示，南墙是用了10块A3型号地太阳能电池板铺设地，其中两个窗户和门还有小咅B分未铺设•图八铺设A1型号太阳能电池地西墙如图九所示，西墙是用了20块A1型号地太阳能电池板铺设地，其中还有小部分未铺设图九铺设A1型号太阳能电池地顶端朝南面如图十所示，顶端朝南面是用了44块A1型号地太阳能电池板铺设地，其中顶部有小部分未铺设•图十铺设A4型号太阳能电池地顶端朝北面如图十一所示，顶端朝北面是用了6块A4型号地太阳能电池板铺设地，几乎平铺铺满.通过对问题一地分析、附件数据和资料地研究，建立了模型一•在仅考虑贴附安装地情况下，对模型一进行了求解，最终选定了合适地光伏电池组件，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应地逆变器地容量和数量• 5.3模型二地建立问题二是在问题一地基础上考虑到了电池板地朝向与倾角均会影响到光伏电池地工作效率，并只对房屋顶端采用架空方式安装光伏电池•顶端朝北面不进行铺设，顶端朝南面架空地面积接近于顶端南面和顶端北面两个斜面面积之和•由于朝向与倾角均发生变化时，太阳产生地辐照强度不同，本模型采用积分对辐照强度进行计算•具体模型如下：首先求出总发电量，W i表示东南西北以及屋顶朝南、屋顶朝北地发电量，a j表示在第i 面用j型号电池地数量，则W i应为两部分之和，则其表达式为：24W\ = '1 i x ij a ij s j n j t i ( 8)j =1365 >241 = 0 q t sin^(t) cosA(t)dt其中，sin 二sin^：：sin• cos，* ：：cos： cos -，a为太阳高度角，A为太阳方位角其它具体参数参考附件 6.在实际铺设中，第i面能铺电池地面积应小于其实际能被铺地面积•其中S i表示第i实际能被铺地面积，则其表达式如下：24—x j a j s j 一S i (9)j m在目标一中，由于本文是先用同种型号地太阳能电池板去铺每一个面•因此，需对其进行限制，使其每一面墙只铺一种型号地电池•则其表达式如下：24' X ij =1,(i =123,4,5,6) ( 10)j m假设m j第j个型号电池地价钱，a ik第i个面用第k个逆变器地个数，m k第k个逆变器地价钱，则太阳能电池和逆变器地总价钱为:24 18' a i"kj =1k#k 第k 个逆变器地转换效率，则第 i 个面总发电量地转换效率为:(12)由( 5 )、6 ）可求得逆变器地单个价格为:2418' a j m j'、^m kj 4k 4M i =-------- = ---------(13)由于太阳角和方位角随不同地时间在变化，故本文利用积分求解发电总量，模型如 下：目标函数:6Max 八 W(i =1,234,5,6)i A6Min » M ii a约束条件为：'24、X j =1,（i =1,2,..…6）,（表示每面墙铺一种型号的电池）24-X j a j S j 乞S ,（第i 面能铺电池的面积应小 于其实际能被铺的面积）j 4x ij =1,表示在第i 面使用j 型号的电池 x j -0,表示在第i 面不使用j 型号的电池 st< P j 汉耳兰P k ,(i=1,2,...,6 )24 18送 a j m ^Z a ik m k24W\ =H l i X j a ij S j n j t ij 壬365X241=( q(t in 。