《必修五 知识点总结》第一章:解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理:在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,，则有2sin sin sin a b cR C===A B （R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =; ②sin 2a R A =，sin 2bRB =,sin 2cC R =;③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ３、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ，推论:bca cb A 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=，推论：C ab b a c cos 2222-+=，推论：abc b a C 2cos 222-+=二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度（几何作图，三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1、三角形中的边角关系(1)三角形内角和等于180°；(2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边; （3)三角形中大边对大角,小边对小角;acb c a B 2cos 222-+=（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·s ｉn Ｂ, c =2R ·sin C ,其中R 是△ＡＢC 外接圆半径． （5）在余弦定理中:２ｂc co ｓＡ=222a c b -+. （6)三角形的面积公式有:Ｓ=21ａh , S ＝21ab ｓi ｎC=21bc s ｉn A=21ac ｓinB ， S ＝))(()(c P b P a P P --⋅-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长.2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（１)已知两角及一边，求其它边角,常选用正弦定理.(2）已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边，求三个角，常选用余弦定理.（4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是:①化边为角;②化角为边.4、三角形中的三角变换(1）角的变换因为在△ＡBC 中，Ａ+B ＋Ｃ=π，所以s ｉn(A+B)=sinC;cos(A+B)＝－ｃo ｓC;tan(A+Ｂ）＝－ｔanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； (２)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半(3）在△A ＢC 中，熟记并会证明：∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=6０°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且a ，b,c 成等比数列.三、解三角形的应用1.坡角和坡度:坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示，根据定义可知:坡度是坡角的正切，即tan i α=．lhα2.俯角和仰角:如图所示,在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α.注：仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

４. 方向角:相对于某一正方向的水平角.5.视角:由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角.第二章:数列知识要点一、数列的概念１、数列的概念:一般地,按一定次序排列成一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ,其中第一项1a 也成为首项;n a 是数列的第n 项,也叫做数列的通项．数列可看作是定义域为正整数集N *(或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.２、数列的分类:按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列:数列中的项为有限个,即项数有限； （2） 无穷数列:数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式．４、数列的函数特征：一般地,一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项,即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项,即1n n a a +<,那么这个数列叫做递减数列; 如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.５、递推公式：某些数列相邻的两项(或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列１、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=(常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.２、等差数列的通项公式:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：(1)若a A b 、、成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且=2a bA +; （2)若数列{}n a 为等差数列,则12,,n n n a a a ++成等差数列,即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++;反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++,则数列{}n a 是等差数列.４、等差数列的性质:(１）等差数列{}n a 中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=;(2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列,则数列{}n n a b ±也为等差数列; (3)等差数列{}n a 的公差为d ,则{}0n d a >⇔为递增数列,{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1)数列{}n a 的前n 项和n S ＝()1231,n n a a a a a n N -++++++∈; （2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（３)设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前ｎ和的性质:(１)等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++，仍为等差数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）;(2)等差数列{}n a 的前ｎ项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于ｎ的二次函数，且不含常数项；(3)若等差数列{}n a 共有２n ＋1(奇数)项,则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项,则1==.n n S a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题:设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则(1)100a d ><且(即首正递减)时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和; （2）100a d <>且(即首负递增)时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念:如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0q ≠).即()1n na q q a +=为非零常数,这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ，则通项公式为:()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项:（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项,且2=A ab ;（2)若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列,即1n a +是n a 与2n a +的等比中项,且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质:(1)等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；(2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；(3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列,{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;（２）数列{}n a 的通项与前ｎ项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(３)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质:设等比数列{}n a 中,首项为1a ，公比为()0q q ≠,则 （1)连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；(2）当1q ≠时,()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-．四、递推数列求通项的方法总结１、递推数列的概念:一般地,把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式,而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式:对于任意的数列{}n a 恒有:（1)()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2)()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结: 类型一(公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）:已知:数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈,求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取１,２，3,……，n-1,可得到下面ｎ-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得:()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三(累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈,求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,３，……，ｎ－１，可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法)：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1(q p b k ,,,为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a 。