实用标准文案1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ，E是AB的中点。

求证：（ 1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。

AEB C2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，D求证： AC1 // 平面 BDE 。

A D1B1CEA3、已知ABC 中ACB 90o,SA面ABC,AD SC ,DB C求证： AD面 SBC ．SDA BABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C4、已知正方体D1C1求证： (１ ) C1O∥面AB D； (2) AC面 AB D ．B11 11 1 1A1DCOA B5、正方体ABCD A ' B 'C ' D ' 中，求证：（1） AC 平面 B ' D ' DB ；（2） BD ' 平面 ACB ' .6、正方体 ABCD —A B C D中．1111D 1C1(1) 求证：平面 A1 BD∥平面 B1D1C；A B1(2) 若 E、 F 分别是 AA ， CC的中点，求证：平面 EB D1F∥平面 FBD ．1111E GC实用标准文案2o7、四面体ABCD 中，AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF AC ，BDC 90 ，求证： BD平面ACD8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面BDG .9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点.（1）求证：A1C //平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE .10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点．（ 1）求证：DE平面PAE；（ 2）求直线DP与平面PAE所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（ 2）求证：AD PB．12、如图 1,在正方体ABCD A B C D中，M 为 CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：AO平面 MBD ．1 1 1 11113 、如图２，在三棱锥Ａ－ BCD 中， BC＝ AC， AD＝ BD，作BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE 于Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD．14． (12 分 )求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S—ABC， SC∥截面 EFGH ，AB∥截面 EFGH .求证：截面EFGH 是平行四边形．2 15．(12 分)已知正方体ABCD — A1B1C1D1的棱长为a，M、 N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1M＝ AN＝3 a，如图．(1)求证： MN ∥面 BB1C1C；(2)求 MN 的长．16．(12 分)(2009 浙·江高考 )如图， DC ⊥平面 ABC，EB∥ DC，AC＝ BC＝ EB＝ 2DC＝ 2，∠ ACB＝120 °，P， Q 分别为 AE， AB 的中点．(1)证明： PQ∥平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值．17． (12 分 )如图，在四面体ABCD 中， CB＝ CD， AD ⊥ BD ，点 E、F 分别是 AB、 BD 的中点．（2）平面 EFC ⊥平面 BCD.1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ， E 是 AB 的中点。

求证：（ 1）AB平面 CDE;A （ 2）平面CDE平面 ABC 。

BC AC E证明：（ 1）CE ABAE BEAD BD B CDE AB同理，BEAE又∵ CE DE E∴ AB 平面CDED（ 2）由（ 1）有AB平面CDE又∵ AB平面 ABC ，∴平面 CDE 平面 ABC2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，求证：AC1 // 平面 BDE 。

A D1证明：连接AC 交 BD 于 O ，连接 EO ，B1C∵ E 为 AA1的中点，O为AC的中点E∴ EO 为三角形A1 AC的中位线∴EO // AC1AD 又 EO 在平面BDE内，A1C在平面BDE外∴ A1C // 平面 BDE 。

ACB 90o,SA B C3、已知ABC中面 ABC , AD SC ,求证： AD 面 SBC ．S证明：∵ ACB90 °BC AC又 SA 面 ABC SA BC BC面 SAC BC AD又 SCAD, SC BCC AD 面 SBC4、已知正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点 .D 1C 1求证： (１ ) C 1O ∥面 AB 1D 1 ； (2) AC 1 面 AB 1D 1 ．A 1B 1证明：（ 1）连结 AC 11 ，设A 1C 1B 1D 1O 1，连结AO1DC∵ABCDA 1B 1C 1D 1 是正方体 A 1 ACC 1 是平行四边形O∴A 1C 1∥ AC 且A 1C 1ACAB又O 1 ,O 分别是 A 1C 1, AC 的中点，∴ O 1C 1∥ AO 且 O 1C 1 AO AOC 1O 1 是平行四边形 C 1O ∥ AO 1 , AO 1 面AB 1D 1 ， C 1O 面 AB 1D 1 ∴ C 1O ∥面 AB 1D 1（ 2）Q CC 1 面 A 1B 1C 1D 1 CC 1 B 1D !又∵ A 1C1B 1D1 ，B 1 D 1 面 AC 1 1C即 AC 1 B 1D 1同理可证A 1C AD1，又D 1B1AD 1D 1AC面 AB 1D 115、正方体ABCDA 'B 'C 'D ' 中，求证：（ 1） AC平面 B ' D ' DB ；（ 2） BD ' 平面 ACB ' .6、正方体 ABCD —A B C D中． (1)求证：平面 A BD ∥平面 B D C ；11 1 1111D 1C 1(2) 若 E 、 F 分别是 AA 1， CC 1 的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面 FBD ．B 1A证明： (1)由 B 1B ∥ DD11，得四边形 BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥ BD ，F又 BD 平面 B 1D 1C ， B 1D 1 平面 B 1D 1 C ，EDGC∴ BD ∥平面 B 1D 1C ． AB同理 A 1D ∥平面 B 1D 1C ．而 A 1D ∩ BD ＝D ，∴平面 A 1BD ∥平面 B 1CD ．(2) 由 BD ∥ B 1D 1，得 BD ∥平面 EB 1D 1．取 BB 1 中点 G ，∴ AE ∥B 1G ．从而得 B 1E ∥AG ，同理 GF ∥AD ．∴ AG ∥ DF ．∴ B 1E ∥DF ．∴ DF ∥平面 EB 1D 1．∴平面 EB 1D 1∥平面 FBD ．7、四面体 ABCD 中， ACBD , E, F 分别为 AD, BC 的中点， 且 EF2AC ，90o ，求证： BD2BDC 平面 ACD证明：取 CD 的中点 G ，连 结 EG, FG ，∵ E, F 分别为 AD , BC 的中点，∴ EG// 1AC FG //11 12BD ，又 AC BD , ∴ FGAC ，∴在 EFG 中， EG 2 FG 2AC 2 EF 2实用标准文案∴ EG FG，∴ BD AC ，又BDC90o，即BD CD ， AC CD C∴ BD平面ACD8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面BDG .证明：∵ E 、F分别是AB、AD的中点，EF ∥ BD又 EF平面 BDG ， BD平面 BDG EF ∥平面 BDG∵ D1G EB四边形 D1GBE 为平行四边形，D1 E ∥GB又D1 E平面 BDG ， GB平面 BDG D1E ∥平面BDGEF D1 E E ，平面 D1EF ∥平面BDG9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是 AA1的中点.（1）求证：A1C //平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE .证明：（ 1）设AC BD O ，∵ E 、 O 分别是AA1、 AC 的中点，A1C∥ EO又1平面BDE ，EO平面BDE，1∥平面BDEAC A C（ 2）∵AA1平面 ABCD ， BD平面 ABCD ，AA1BD又 BD AC ，ACAA1 A ，BD平面 A1 AC ，BD平面 BDE ，平面 BDE平面 A1 AC10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ，PA AD 4 ，E 为 BC的中点．（ 1）求证：DE平面PAE；（ 2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE 中， AD 2AE 2DE 2，AE DE∵ PA平面 ABCD ， DE平面 ABCD ，PA DE又 PA AE A ，DE平面 PAE（ 2）DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角在 Rt PAD ，PD4 2 ，在Rt DCE 中，DE 2 2在 Rt DEP 中， PD2DE ，DPE30011、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是DAB600且边长为 a 的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：（ 2）求证：AD PB．证明：（ 1）BG 平面 PAD ；G 为 AD 的中点，BG ADABD 为等边三角形且实用标准文案又平面 PAD 平面 ABCD ， BG 平面 PAD（ 2） PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点，AD PG且 ADBG ，PGBG G， AD平面 PBG ，PB 平面 PBG ，ADPB12、如图 1,在正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， M 为 CC 1 的中点， AC 交 BD 于点 O ，求证： AO 1平面 MBD ．证明：连结 MO ， A 1M ，∵ DB ⊥ A 1A ， DB ⊥AC ， A 1AAC A ，∴ DB ⊥平面 A 1 ACC 1 ，而 AO 1 平面 A 1ACC 1 ∴ DB ⊥ A 1O ．设正方体棱长为 a ，则 A 1O23a 2 ， MO23a 2 ．9 2 4在 Rt △ A C M 中， A 1 M 22 ．∵ A 1O 2 MO 2 A 1M 2 ，∴ AO OM ．1 1a14∵ OM ∩DB =O ，∴ A 1O ⊥平面 MBD ．13、如图２，在三棱锥 Ａ－ BCD 中， BC ＝ AC ， AD ＝BD ，作 BE ⊥ CD ， Ｅ为垂足，作 AH ⊥ BE 于 Ｈ．求证： AH ⊥平面BCD ．证明：取 AB 的中点 Ｆ，连结 CF ，DF ．∵ ACBC ，∴ CF AB ．∵ AD BD ，∴ DF AB ． 又 CF I DF F ，∴ AB 平面 CDF ． ∵ CD 平面 CDF ，∴ CD AB ．又 CDBE ， BEAB B ，∴ CD平面 ABE CD AH．，∵ AH CD ， AHBE ，CD BEE ，∴AH 平面．BCD14．(12 分 )求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥 S —ABC ， SC ∥截面 EFGH ，AB ∥截面 EFGH .求证：截面 EFGH 是平行四边形．证明：∵ SC ∥ 截面 EFGH ， SC?平面 EFGH ， SC? 平面 ASC ，且平面 ASC ∩ 平面 EFGH ＝ GH ， ∴ SC ∥ GH .同理可证 SC ∥ EF ， ∴ GH ∥EF .同理可证 HE ∥ GF .∴ 四边形 EFGH 是平行四边形．2 15．(12 分)已知正方体ABCD — A1B1C1D1的棱长为a，M、 N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1M＝ AN＝3 a，如图．(1)求证： MN ∥面 BB1C1C；(2)求 MN 的长．解： (1)证明：作 NP⊥ AB 于 P，连接 MP.NP∥ BC，∴AP＝AN＝A1M，∴MP∥ AA1∥ BB1，∴ 面 MPN ∥面 BB1C1C. AB AC A1BMN ? 面 MPN ，∴ MN ∥面 BB1C1C.2(2)NP＝AN＝3a112a. BC AC＝， NP＝ a，同理 MP＝2a333又MP∥ BB1，∴ MP⊥面 ABCD ，MP ⊥ PN.在 Rt△MPN 中 MN ＝42125a.a＋ a ＝3 9916．(12 分)(2009 浙·江高考 )如图， DC ⊥平面 ABC，EB∥ DC，AC＝ BC＝ EB＝ 2DC＝ 2，∠ ACB＝120 °，P， Q 分别为 AE， AB 的中点．(1)证明： PQ∥平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值．解： (1)证明：因为 P， Q 分别为 AE，AB 的中点，所以PQ∥ EB.又 DC ∥EB，因此 PQ∥ DC，又PQ?平面 ACD ，从而 PQ∥平面 ACD .(2)如图，连接 CQ， DP，因为 Q 为 AB 的中点，且 AC＝ BC，所以 CQ⊥ AB.因为 DC ⊥平面 ABC， EB∥ DC ，所以 EB⊥平面 ABC，因此 CQ⊥EB .故CQ⊥ 平面ABE.1由 (1)有 PQ∥ DC，又 PQ＝2EB＝ DC，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP∥CQ，因此 DP⊥平面 ABE，5∠ DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在Rt△ DPA 中， AD＝5， DP＝ 1，sin ∠DAP ＝，17． (12 分 )如图，在四面体ABCD 中， CB＝ CD， AD ⊥ BD ，点 E、F 分别是 AB、 BD 的中点．求证： (1) 直线 EF∥面 ACD.(2) 平面 EFC ⊥平面 BCD .证明： (1) 在△ ABD 中，∵E、 F 分别是 AB、 BD 的中点，∴ EF ∥ AD.又AD? 平面 ACD， EF?平面 ACD，∴直线 EF ∥面 ACD .(2) 在△ ABD 中，∵ AD ⊥BD ，EF ∥ AD，∴ EF⊥ BD .在△BCD 中，∵ CD＝ CB， F 为 BD 的中点，∴ CF ⊥ BD.∵CF∩ EF ＝ F，∴ BD⊥平面 EFC ，又∵BD ? 平面 BCD，∴平面 EFC ⊥平面 BCD .。