1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。

2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

3、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： （1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面.6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =，90BDC ∠=o ， 求证：BD ⊥平面ACDAED BCAED 1CB 1DCBASDCB AD 1ODB AC 1B 1A 1CA AB 1B C 1 CD 1DGEF8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH .求证：截面EFGH是平行四边形．15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23a，如图．(1)求证：MN∥面BB1C1C；(2)求MN的长．16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.（2）平面EFC⊥平面BCD.1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

3、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB DAEDBCAED 1CB 1DCBASD CB A D 1ODBAC 1B 1A 1C（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A CB D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=∴1AC ⊥面11AB D 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连 结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=o，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D GEB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG1EF D E E⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.A AB 1C 1C D 1D G EF（1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE = 在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A⋂=，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =I ，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=，∴ AH ⊥平面BCD ．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH . 求证：截面EFGH 是平行四边形．证明：∵SC ∥截面EFGH ，SC ⊄平面EFGH ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面EFGH ＝GH ， ∴SC ∥GH .同理可证SC ∥EF ，∴GH ∥EF . 同理可证HE ∥GF . ∴四边形EFGH 是平行四边形．15．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解：(1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A 1M A 1B，∴MP ∥AA 1∥BB 1，∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN ，∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NPBC＝ANAC＝23a2a＝13，NP＝13a，同理MP＝23a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝49a2＋19a2＝53a.16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝55，17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.。