单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
二、平面体系的计算自由度 W
1、平面刚片体系公式 —— 将体系中刚片为被约束对象，铰、刚结和链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m — 刚片数； g — 简单刚结数（固定支座）；
h — 简单铰数； b — 简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。 2、平面杆件体系公式 —— 将体系中结点为被约束对象，链杆为约束。则 计算自由度公式为：
W 2 j b
j—结点数； b—简单链杆数。 3. 混合公式 —— 将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆为 约束，则计算自由度公式为：
4 6
5
5
4
5 (1,2) 6
(2,3)
(2,3)
.
几何瞬变体系
分析 2AB NhomakorabeaC E F
D
A
1,3
A 2,3 2,3
B
1,2
C E F
D
1,3 B
1,2
D C
F E
几何不变体系
几何瞬变体系
分析 3
F G H F (1,2) G H
A
C
B D
E
A J
C B K D
(2,3) E
(1,3)
F
G
H
F
G
(2,3) A J B C K D E A
A
A
A
A CC
2m
C
C
C
A
(7) (7) (7) (8)
(8) (8) 2m
C
C
E E
A EA
E
A
A
F E
B
JA
E
EF
J
E
2m
3m 2m
A
E E
A
J J
F J G E
H F HG
D H D
C
C GH
D
D
D HD
H C
G EG
C C J
E
2m C 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m
J
J
G G
G C C
规律3 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不 变的整体，且没有多余约束。 C 被约束对象：刚片 I，II，III C II II 提供的约束：铰A、B、C III III 刚片I, II——用铰A连接 A A 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接 规律3 铰可以是实铰也可以是瞬铰。 I B I B
提供的约束：铰A及链杆1
I
2、两个刚片之间的连接方式
两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰（两链杆延 长线的交点）的约束作用。 规律4 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同 一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。 1
A
I 2 3 II
被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：链杆1，2，3
3、三个刚片之间的连接方式
4
D
5
C 9
7
E 10
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
A
1 2 3
B
4 I
C 5 6
D
7 8
E 9
10
解: 用混合公式计算。
m 1
j 5 g 2 b 10
W (3 1 2 5) (3 2 10) 13 16 3
四、注意点 1、复铰的概念：联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个 简单铰，减少(n-1)×2个约束。。
2FNAC sin FP 0
C’
α
FNBC
FP 2 sin
0, FNAC
A
C
B
D
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的几何不变体系的组成规律。
1、一个点与一个刚片之间的连接方式
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且 没有多余约束。
1,3
例5
.
.1,2
2,3
.
.
无多余约束的几何不变体系 例6
1,2
几何瞬变体系
. .
1,3 2,3
. 2,3
几何瞬变体系
1,2 1,3
分析 1
1 2
3
(1,2) 1
(2,3) 2
3
(1,2) 1
2
3
4 6
5
4 6
5
(2,3) 4 6
5
(1,2) 1
2
3
1
2 (2,3) 4 6
3
(1,2)
1
2
3
(1,3)
A
C
B
由不共线的两根链杆联结一个新结点的装置，称为二元体。 （二元体规则）在一个体系上增加或撤去一个二元体，则体系的几何性质 不会改变。
2、两个刚片之间的连接方式
规律2 两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三 个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且 没有多余约束。 II 1 A
被约束对象：刚片 I，II
B
1
2
3
4
5
例2-3.5：求图示体系的计算自由度。
A
C
4 I 5 6
D
E 9 8 10
解: 用混合公式计算。
1
2
W (3m 2 j ) (3g 2h b)
3
7
m 1 j 5 g 2 b 10 W (3 1 2 5) (3 2 10) 13 16 3
第2章
结构的几何构造分析
§2-1 几何构造分析的几个概念
几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者 如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。
几何不变体系和几何可变体系
几何可变体系：
不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。
几何不变体系：
不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。
一、自由度
自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 平面内一个动点A，其位置要由两个坐标 x 和 y 来确定，所以一个点的 自由度等于2。 y y 二、刚片 平面体系作几何组成分 B x A 析时，不考虑材料应变，所 x A 以认为构件没有变形。可以 y 把一根杆、巳知是几何不变 y 的某个部分、地基等看作一 x x 0 0 个平面刚体，简称刚片。 平面内一个刚片，其位置要由两个坐标 x 、y 和AB 线的倾角α来确定， 所以一个刚片在平面内的自由度等于3。
2、若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中已分析出 的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”，使原体系简化。`
三、举例 例题1
结论:
无多余约束几何不变体系
几何组成分析 例题2
结论:无多余约束几何不变体系
例题3 例题4
结论:有2个多余约束的几何可变体系
结论:有3个多余约束的几何不变体系
例4
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
一、体系的自由度
体系是由部件（刚片或结点）加上约束组成的。 刚片内部：是否有多余约束。内部有多余约束时应把它变成内部无多余 约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时应当考虑进去。
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 连接n个刚片的铰相当于（n-1）个单铰
3 6－2×（1）= 4 9－2×（2）= 5
(3)
(4) (4) (4)
(4) (4) (4)
(4)
(5)
(4)
(5) (5) (5) D (5) B (5) B B B B DD D B D B B
A
(5) (5)
(6) F
(6) (6) (6)
F
(6)
(6)
BF
D
D
D FF
F
F
F
(6) (6) B
BB
D
E
E
F
E
B
A
F F B
F
B
H
HD
A
A
W (3m 2 j ) (3g 2h b)
m、j、g、h、b 意义同前。
三、自由度与几何体系构造特点
W 0 W 0 W 0
体系几何可变； 体系几何不变时，无多余约束。 体系有多余约束。
一个体系若求得 W > 0，一定是几何可变体系；若W ≤0，则可能是几何不 变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。 所以W ≤0 是体系 几何不变的必要条件，而非充分条件。 例2-3.1： 例2-3.2：
例2-3.6：试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。
A B C D E F L
解：1、按平面刚片体系计算自由度
W 3m (3g 2h b)
m＝ 9 h＝12 b＝０
I G H
J
K
W 3 9 2 12 3
2、进行几何构造分析
A B C
D E
F L
A
B
C
D E
F
. (1,2)
I G H
J K
I G (1,3) H
J (2,3) K
L
练习2-3.2：试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ )
(Ⅰ,Ⅲ ) 解：1、用混合公式计算计算自由度
(Ⅰ,Ⅱ)
W (3m 2 j ) (3g 2h b)
m 1
j 4 h 0 b 11