江苏省南通市海安县2017年中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．|﹣2|的值等于（）A．2 B．﹣C．D．﹣22．计算a2÷a3的结果是（）A．a﹣1B．a C．a5D．a63．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥4．一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，45．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D．6．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2+bx+2=0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是（）A．b=2 B．b=3 C．b=﹣2 D．b=﹣37．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．πB．πC．πD．π8．在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是（）A．A、C两村间的距离为120kmB．点P的坐标为（1，60）C．点P的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60kmD．乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10km9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD 的边长为（）A．B．5 C．5D．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．12．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为．13．计算（﹣）×的结果是．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=°．15．分解因式：9m3﹣mn2=．16．已知平面直角坐标系xOy中，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，），设△OPA 的面积为S．则S随x的增大而．（填“增大”，“不变”或“减小”）17．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落在=．BC边上时，S阴影18．已知两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0．若一次函数的图象经过点A（a，a2），B（b，b2），则这个一次函数的解析式是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．20．化简：（1+）÷．21．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=，n=，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．22．现有一组数：﹣1，，0，5，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）25．（10分）（2016贵港三模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP 与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＞0）与直线y=kx﹣k的交点为A（m，2）．（1）求k的值；（2）当x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集：；（3）设直线y=kx﹣k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．27．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）若锐角∠APM的正切函数值为．①求点M的坐标；②设点N在直线l2上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q 的坐标．2017年江苏省南通市海安县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．|﹣2|的值等于（）A．2 B．﹣C．D．﹣2【分析】直接根据绝对值的意义求解．【解答】解：|﹣2|=2．故选A．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．2．计算a2÷a3的结果是（）A．a﹣1B．a C．a5D．a6【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：a2÷a3=a﹣1，故选A．【点评】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握性质和法则是解题的关键．3．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出选项．【解答】解：A、圆柱的俯视图为圆，故本选项错误；B、长方体的俯视图为矩形，故本选项正确；C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；D、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题比较简单．4．一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，4【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．【解答】解：数据按从小到大排列：2、3、4、4、5、5、5，中位数是4；数据5出现3次，次数最多，所以众数是5．故选C．【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，由①得：x≥1，由②得：x＜2，在数轴上表示不等式的解集是：故选：D．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．6．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2+bx+2=0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是（）A．b=2 B．b=3 C．b=﹣2 D．b=﹣3【分析】利用根的判别式结合b的值分别判断得出即可．【解答】解：A、当b=2时，此时b＞0，不合题意，故此选项错误；B、当b=3时，此时b＞0，不合题意，故此选项错误；C、当b=﹣2时，此时b＜0，则x2﹣2x+2=0，故b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，故此方程无实数根，故此选项正确；D、当b=﹣3时，此时b＜0，则x2﹣3x+2=0，故b2﹣4ac=9﹣8=1＞0，故此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了命题与定理以及根的判别式，正确记忆根的判别式与方程根的情况是解题关键．7．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°；连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，∴∠AOC=144°所以劣弧AC的长度为=π．故选B．【点评】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中．8．在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是（）A．A、C两村间的距离为120kmB．点P的坐标为（1，60）C．点P的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60kmD．乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10km【分析】A、由图可知与y轴交点的坐标表示A、C两村间的距离为120km，再由0.5小时距离C村90km，行驶120﹣90=30km，速度为60km/h，求得a=2；B、求得y1，y2两个函数解析式，建立方程求得点P坐标；C、点P表示在什么时间相遇以及距离C村的距离；D、由B中的函数解析式根据距甲10km建立方程；探讨得出答案即可．【解答】解：A、A、C两村间的距离120km，a=120÷[（120﹣90）÷0.5]=2，故A不符合题意；B、设y1=k1x+120，代入（2，0）解得y1=﹣60x+120，y2=k2x+90，代入（3，0）解得y1=﹣30x+90，由﹣60x+120=﹣30x+90解得x=1，则y1=y2=60，所以P（1，60），故B不符合题意；C、点P表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km，故C不符合题意；D、当y1﹣y2=10，即﹣60x+120﹣（﹣30x+90）=10解得x=，当y2﹣y1=10，即﹣30x+90﹣（﹣60x+120）=10解得x=，当甲走到C地，而乙距离C地10km时，﹣30x+90=10解得x=；综上所知当x=h，或x=h，或x=h乙距甲10km，故D符合题意．故选：D．【点评】此题考查一次函数的运用，一次函数与二元一次方程组的运用，解答时认真分析图象求出解析式是关键，注意分类思想的渗透．9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据k、b的正负不同，则函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象所在的象限也不同，针对k、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．【解答】解：若k＞0，b＞0，则y=kx+b经过一、二、三象限，y=bx2+kx开口向上，顶点在y轴左侧，故A、D错误；若k＜0，b＜0，则y=kx+b经过二、三、四象限，y=bx2+kx开口向下，顶点在y轴左侧，故B错误；若k＞0，b＜0，则y=kx+b经过一、三、四象限，y=bx2+kx开口向下，顶点在y轴右侧，故C正确；故选C．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数图象和二次函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答．10．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD 的边长为（）A．B．5 C．5D．【分析】连接CN、DM、AC，根据轴对称的性质可得CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，根据正方形的四条边都相等可得AD=CD，然后求出AD=DM，根据等边对等角可得∠DAM=∠DMN，从而得到∠DCN=∠DAM，再求出∠ACN+∠CAN=90°，判断出△ACN是直角三角形，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据正方形的边长等于对角线的倍求解．【解答】解：如图所示，连接CN、DM、AC，∵点C关于直线DE的对称点为M，∴CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，在正方形ABCD中，AD=CD，∴AD=DM，∴∠DAM=∠DMN，∴∠DCN=∠DAM，∵∠ACN+∠CAN=∠BCD﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，∴∠ANC=180°﹣90°=90°，∴△ACN是直角三角形，由勾股定理得，AC===5，∴正方形ABCD的边长=AC=×5=．故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边对等角的性质，勾股定理，作辅助线构造出等腰三角形与直角三角形是解题的关键，难点在于把AN、MN的长度以及正方形的对角线组成直角三角形．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为5．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．12．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．【分析】二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．【解答】解：∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．13．计算（﹣）×的结果是2．【分析】根据二次根式的混合运算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出算式（﹣）×的结果是多少即可．【解答】解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的结果是2．故答案为：2．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=110°．【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【解答】解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵∠2=∠4+∠5，∵∠3=∠4，∴∠2﹣∠3=∠5=110°，故答案为：110．【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．15．分解因式：9m3﹣mn2=m（3m+n）（3m﹣n）．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=m（9m2﹣n2）=m（3m+n）（3m﹣n），故答案为：m（3m+n）（3m﹣n）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．已知平面直角坐标系xOy中，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，），设△OPA 的面积为S．则S随x的增大而减小．（填“增大”，“不变”或“减小”）【分析】根据题意可以表示出S与x之间的关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，S==，故S随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是找到S与x之间的关系．17．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落在=+．BC边上时，S阴影【分析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，则可求得∠RKQ的度数，于是求得答案．【解答】解：如图所示：设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H 过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，==，∴S扇形KRQ在Rt△RKE中，RE=RKsin60°=，∴S△PRK=××=，=+；∴S阴影故答案为： +．【点评】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意根据题意正确的画出图形是解题的关键．18．已知两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0．若一次函数的图象经过点A（a，a2），B（b，b2），则这个一次函数的解析式是y=﹣18x+19．【分析】根据两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0，可得a2=19﹣18a，b2=19﹣18b，进而可得A（a，a2），B（b，b2）变为A（a，19﹣18a），B（b，19﹣18b），设一次函数解析式为y=kx+n，把此两点代入可得关于k、b的方程组，再解即可得到k、b的值，进而可得这个一次函数的解析式．【解答】解：∵两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0，∴a2=19﹣18a，b2=19﹣18b，设一次函数解析式为y=kx+n，∵图象经过点A（a，a2），B（b，b2），∴图象经过点A（a，19﹣18a），B（b，19﹣18b），∴，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣18x+19．故答案为：y=﹣18x+19．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=4+1+﹣1=4+；（2），①×2+②，得5x=5，即x=1，将x=1代入①，得y=﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．化简：（1+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式==﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=30，n=20，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是90°；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．【分析】（1）根据条形图和扇形图确定B组的人数环绕所占的百分比求出样本容量，求出m、n的值；（2）求出C组”所占的百分比，得到所对应的圆心角的度数；（3）求出不合格人数所占的百分比，求出该校本次听写比赛不合格的学生人数．【解答】解：（1）从条形图可知，B组有15人，从扇形图可知，B组所占的百分比是15%，D组所占的百分比是30%，E组所占的百分比是20%，15÷15%=100，100×30%=30，100×20%=20，∴m=30，n=20；（2）“C组”所对应的圆心角的度数是25÷100×360°=90°；（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的学生人数为：900×（10%+15%+25%）=450人．【点评】本题考查的是频数分布表、条形图和扇形图的知识，利用统计图获取正确信息是解题的关键．注意频数、频率和样本容量之间的关系的应用．22．现有一组数：﹣1，，0，5，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出“均比0大”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）无理数为，从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率=；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中“均比0大”的结果数为2，所以从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意可得，乘坐高铁行驶400千米比乘坐普通列车行驶520千米少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得+3=，解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，则2.5x=300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】首先过P作PC⊥AB，垂足为C，进而求出PC的长，利用tan37°=，得BC的长，即可得出答案．【解答】解：过P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60°，∠BPC=37°，且由题意可知：AC=120米．在Rt△APC中，由tan∠APC=，即tan60°=，得PC==40．在Rt△BPC中，由tan∠BPC=，即tan37°=，得BC=40×0.75≈51.9．因此AB=AC﹣BC=120﹣51.9=68.1，即大楼AB的高度约为68.1米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．25．（10分）（2016贵港三模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP 与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＞0）与直线y=kx﹣k的交点为A（m，2）．（1）求k的值；（2）当x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集：x＞2；（3）设直线y=kx﹣k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）观察图象，直线y=kx﹣k的图象在y=的上方，由此可以写出不等式的解集．（3）设点C坐标（m，0），直线y=2x﹣2与x轴的交点D坐标为（1，0），根据S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵点A在双曲线y=上，∴2=，∴m=2，∴点A（2，2）．∵点A在直线y=kx﹣k上，∴2=2k﹣k，∴k=2．（2）由图象可知，x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集为x＞2．故答案为x＞2．（3）设点C坐标（m，0）．∵直线y=2x﹣2与x轴的交点D坐标为（1，0），∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，∴|m﹣1|（2+2）=4，∴m=3或﹣1．∴点C坐标为（3，0）或（﹣1，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、待定系数法等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．27．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；（2）连接PE，先证明PQ垂直平分BE．得到PB=PE，再证明∠APE=60°，得到∠AEP=30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分两种情况讨论作出辅助线，证明△ABE≌△FQP，即可解答．【解答】解：（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；（2）连接PE，如图2，∵点M是BE的中点，PQ⊥BE∴PQ垂直平分BE．∴PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=90°﹣∠AEB=90°﹣60°=30°，∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，∴∠AEP=90°∠APE=90°﹣60°=30°，∴BP=EP=2AP．（3）NQ=2MQ或NQ=MQ．理由如下：如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．∵正方形ABCD中，AB=BC，∴FQ=AB．在Rt△ABE和Rt△FQP中，∵∴△ABE≌△FQP（HL）．∴∠FQP=∠ABE=30°．又∵∠MGO=∠AEB=60°，∴∠GMO=90°，∵CD∥AB．∴∠N=∠ABE=30°．∴NQ=2MQ．如图4所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．同理可证△ABE≌△FQP．此时∠FPQ=∠AEB=60°．又∵∠FPQ=∠ABE+∠PMB，∠N=∠ABE=30°．∴∠EMQ=∠PMB=30°．∴∠N=∠EMQ，∴NQ=MQ．【点评】本题考查了正方形的性质定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．28．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）若锐角∠APM的正切函数值为．①求点M的坐标；②设点N在直线l2上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q 的坐标．【分析】（1）利用垂直平分线的性质以及勾股定理得出y与x的函数关系式；（2）①利用P点在第三、四象限分别得出M点坐标；②根据题意首先得出N点坐标再利用待定系数法求出一次函数解析式，联立函数解析式进而得出Q点坐标．【解答】解：（1）如图1，连接AP，作PB⊥y轴于B，由l1垂直平分AM得：PA=PM=﹣y；在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM﹣OA=﹣2﹣y，根据勾股定理得：（﹣2﹣y）2+x2=y2，整理得：y=﹣x2﹣1．（2）①当点P在第四象限时，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣1）（x＞0）．∵直线l2垂直于x轴，∴PM∥y轴．∴∠APM=∠PAB，∴tan∠PAB=tan∠PAB=，即=．∴=，解得x1=4，x2=﹣1（不合题意，舍去）．∴此时点M的坐标为（4，0）．当点P在第三象限时，由对称性同理可得点M的坐标为（﹣4，0）．综上可知，点M的坐标为（4，0）、（﹣4，0）．②如图2，当点M为（4，0）时，点P的坐标为（4，﹣5）．∵点N在直线l2上且PN=1，∴点N的坐标为N1（4，﹣4）或N2（4，﹣6），当点N在点P上方即N1（4，﹣4）时，连接AN1交抛物线于点Q1，设直线AN1的解析式为y=kx+b（k≠0），把A（0，﹣2），N1（4，﹣4）代入得：。