第六章 谱分析 Spectral Analysis
到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：
我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞
∞-}{t Y 的性质。
假设+∞
∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：
假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：
这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：
注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞
∞-}{j γ，原则上都可
以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为：
因此，谱函数可以等价地表示成为：
注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：
ω的下面我们考虑)1(MA 过程，
此时：z z θψ+=1)(，则母体谱为：
可以化简成为：
显然，当0>θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数；当0<θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数。
对)1(AR 过程而言，有：
这时只要1||<φ，则有：)1/(1)(z z φψ-=，因此谱函数为：
该谱函数的性质为：当0>φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数；当0<φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数。
一般地，对),(q p ARMA 过程而言：
)
(ωY s 利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。
解释母体谱函数
假设0=k ，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即0γ，计算公式为：
根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间],[ππ-内的面积就是0γ，也就是过程的方差。
更一般的，由于谱函数)(ωY s 是非负的，对任意],0[1πω∈，如果我们能够计算：
这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为t Y 的方差中与频率的绝对值小于1ω的成分相关的部分。
注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：
这个积分表示频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献。
但是，频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们
虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。
对于一般的情形，着名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。
对任意给定的固定频率],0[πω∈，我们定义随机变量)(ωα和)(ωδ，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：
这里需要对随机变量)(ωα和)(ωδ的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。
§6.2 样本周期图 Sample Periodogram
对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程}{t Y ，我们已经定义在频率ω处的谱函数值为：
μ
ˆ，M αααˆ,,ˆ,ˆ21 ，M
δδδˆ,,ˆ,ˆ21 使得t 期的y 值可以表示成为： 其中：
当k j ≠时，)]1(cos[ˆ-t j j ωα
与)]1(cos[ˆ-t k k ωα不相关； 当k j ≠时，)]1(sin[ˆ-t j
j ωδ与)]1(sin[ˆ-t k k ωδ不相关；
对于所有的j 和k ，)]1(cos[ˆ-t j j ωα与)]1(sin[ˆ-t k
k ωδ不相关。
y 的样本方差是∑=--T
t t y y T 121)(，
该方差中可以归因于频率为j ω的周期成分的部分由样本周期图)(j Y s ω给出。
我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。
这时t y 可以表示成为由2/)1(-≡T M 个不同频率构成的周期函数，频率M ωωω,,,21 如下： 1)],,cos[M ω(回归的OLS 系
M ,，进一步，假设T y y y ,,,21 是任意T 个实数，则下述推断成立：
(a) 过程t y 可以表示为：
这里：
y =μˆ，∑=-=T t j t j t y T 1)]1(cos[2ˆωα，∑=-=T t j t j t y T 1
)]1(sin[2ˆωδ
(b) t y 的样本方差可以表示为：
样本方差可以归因于频率为j ω的周期成分的部分为2/)ˆˆ(22j j δα+。
(c) t y 的样本方差中可以归因于频率为j ω的周期成分的部分还可以表示为：
其中)(ˆj y s
ω是样本周期图在频率j ω处的值。
上述结果说明，'T
x x 是对角矩阵，这意味着包含在向量x 中的向量之间是相互正交
因此，根据以前的讨论，具有频率2/3πω=的周期在观测值上等价于具有频率2/πω=的周期。
注意到频率和周期之间的关系，频率ω对应的周期为ωπ/2。
由于我们考虑的最高频率为πω=，因此我们所观测到的能够自己重复的最短阶段是2/2=ππ。
如果2/3πω=，则周期是每3/4阶段重复自己。
但是，如果数据是整数阶段观测的，因此数据可以观测的时间间隔仍然是每4个阶段观测到，这对应着周期频率是2/πω=。
例如，函数])2/cos[(t π和函
数])2/3cos[(t π在整数的时间间隔上，它们的观测值是一致的。
命题6.2也为计算在频率T i j /2πω=(M j ,,2,1 =)上的样本周期图的数值提供了方法。
定义：
这里：
∑=-=T t j t j t y T 1)]1(cos[2ˆωα，∑=-=T t j t j t y T 1
)]1(sin[2ˆωδ
进一步，如果ωλ≠，也有：
并且上述两个渐近分布的随机变量是相互独立的。
注意到)(2n χ的均值等于自由度，因此有：
因为)(ωY s 是母体数量，不是一个随机变量，因此上式也可以表示成为：
因此，对充分大的样本容量，样本周期函数为母体谱提供了一个渐近无偏估计。
母体谱的参数化估计
假设我们认为数据可以由),(q p ARMA 模型表示：
这里t ε是具有方差2σ的白噪声。
这时一个估计母体谱的出色方法是先利用前面介绍的极大似然估计估计参数22121,,,,,,,,,σθθθφφφμq p ，具有绝对可加自协方差的协方差平稳
T j /。