3vm新力学习题答案（四）4—1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。

此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。

求（1）质点对三个点的角动量；（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。

0sin (sin ()2(00sin (sin (131213121=====⨯=⨯======⨯=mg d M mg d mg d M mgd M gm r F r M mv d J mv d mv d J mvd J vm r J A B A C B A 方向垂直纸面向里）方向垂直纸面向里）方向垂直纸面向里）方向垂直纸面向里））解：（θθϖϖϖϖϖϖϖϖ的力矩。

的角动量和作用在其上。

求它相对于坐标原点的力方向并受到一个沿处，速度为的粒子位于（一质量为—f x j v i v v y x m y x -+=,ˆˆ),.24ϖ()()()()()()i ymg kyf j xmg k mg if j y i xg m f r F r M k myv mxv jv i v m j y i x v m r J x y yx ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-+=--⨯+=+⨯=⨯=-=+⨯+=⨯=ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ解：()()秒弧解：依题有：求其角速度。

为普朗克常量，等于已知电子的角动量为率运动。

的圆周上绕氢核作匀速，在半径为电子的质量为—/1013.1103.5101.914.321063.622),1063.6(2/103.5101.9.3417211313422341131⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=====⋅⨯⨯⨯------mR h h mR Rmv J s J h h m kg πωπωπ什么变化？为多少？圆锥的顶角有的速度时，摆锤，摆长拉倒时摆锤的线速度为设摆长为我们可将它逐渐拉短。

，子，系摆锤的线穿过它央支柱是一个中空的管如本题图，圆锥摆的中—2211.44v lv l解：分析：摆锤受到绳子张力和重力的作用，此二力对过O 沿管子方向均无力矩分量， 所以过O 沿管子方向（即竖直方向）上角动量守恒。

4—5．如本题图，在一半径为R 、质量为m 的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。

起初小汽车在转台边缘，转台以角速度ω绕中心轴转动。

汽车相对于转台沿径向向里开，当它走到R/2初时，转台的角速度变为多少？动能改变多少？能量从哪里来？ 解：由汽车和转台组成的系统角动量守恒。

()顶角变大又两式相除得时有当顶角为摆锤作圆周运动211231322321311231223212221112211222212211222221112222111sin sin sin sin sin sin sin sin sin :sin sin cos :,sin sin sin sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ<⇒<=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒=⎪⎩⎪⎨⎧====⇒=l l l l tg tg l l l l v l l v l v l v tg tg gl v tg l mv r mv T mg T l v l v v l v l 擦力作功而来。

能量从汽车对转台的摩转台动能改变为：又：时：汽车走到起初转转汽切向转汽转01003958212121'2158'''85'2421'22''22212:22222222222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∆=∴==+=+==+=+=ωωωωωωωωωωωωωωωmR mR I I E J J mR RmR mR v m R I J R mR R mR mR v m RI J4—6．在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v 时，转台怎样转动？解：对速度产生影响的是汽车与转台之间的摩擦力。

对系统而言，摩擦力是内力。

4—7．两质点的质量分别为m 1、m 2（m 1大于m 2），栓在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度ω在光滑水平桌面上旋转。

它们之中哪个对质心的角动量大？角动量之比为多少？4—8．在上题中，若起初按住m 2不动，让m 1绕着它以角速度ω旋转。

然后突然将m 2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。

设绳长为 。

.633066)2)(1()2(32:222121212122121221)1(:,,222222222122222212212121动即转台沿相反的方向转由即则转台边缘的速度为设汽车的速度为折合转vv v v vv v v v v v m m m mv m R v mR v m I v m vv v v v ±-=∴=++⇒=++==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-ω()()212122212112211222222222221212221212111111211121212211212121:,,J J m m l m m m m m l m m m m r m v m r J l m m m m m l m m m m r m v m r J lm m m r l m m m r r m r m l r r r r m m <∴>+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⨯=+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⨯=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧==+又：两质点对质心的角动量则有：与距质心分别为解：先求质心位置：设ωωωωωωϖϖϖϖ()即质心作匀速直线运动总动量守恒不受力，组成的系统在水平方向、后，解：突然放开21121111212:m m l m v v m m l m v m m m m c c+=⇒+==ωω4—9．两个滑冰运动员，体重都是60kg ，他们以6.5m/s 的速率垂直地冲向一根10m 长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。

若将每个运动员看成一个质点，细杆的质量可以忽略不计。

（1）求他们抓住细杆前后对于其中点的角动量；（2）他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m 时，各自的速率是多少？ （3）求此系杆中的张力；（4）计算每个运动员在减少他们之间距离的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。

解：两人和杆组成的系统角动量守恒，质心在杆的中点。

()()22121121121122121212*********12222222222212122212121111112111212122112121212,,ωωωωωωωωωl m m m m r m r v m T l m m m m J J J l m m m m m l m m m m r m v m r J l m m m m m l m m m m r m v m r J lm m m r l m m m r r m r m l r r r r m m m +===+=+=+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⨯=+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⨯=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧==+绳中的张力：：两质点对质心的角动量则有：与距质心分别为先求质心位置：设质心角动量守恒后的那一瞬间，系统对突然放开ϖϖϖϖ()()()焦耳：每位运动员动能的变化此时绳子的张力：即：的过程中，角动量守恒在运动员往自己边收杆，均为：对杆中点的角动量不变各运动员在抓住杆前后5.38025.6136021'21)4(40562/0.51360'')3(/132''2''''22)2(/19505.6600.5)1(2222222=-⋅⋅=-=∆=⨯====⇒=====⨯⨯==⨯=v v m E Nr mv T s m v v mv rmv r rmv J J J J skgm rmv v m r J ϖϖ4—10．在光滑的水平桌面上，用一根长为 的绳子把质量为m 的质点联结到一固定点O 。

起初，绳子是松弛的，质点以恒速率v 0沿一直线运动。

质点与O 最接近的距离为b ，当此质点与O 的距离达到 时，绳子就绷紧了，进入一个以O 为中心的圆形轨道。

（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。

能量到哪里去了？（2）当质点作匀速率圆周运动后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O 的角动量如何变化？4—11．图中O 为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r 2（k 为一常量）。

（1）求此力场的势能；（2）一质量为m 的粒子以速度v 0、瞄准距离b 从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。

()θθθθsin :21sin sin 21sin 2121)1(02220202lmv J O m m E E mv v m E mv E =<====为的角动量不变，对以与支持力相抵消），所由于无外力作用（重力将作直线运动）绳突然断后，（性势能。

其它能量转变成绳的弹解：初终终初240223202402202202))()()(2121)2(1bv m k k mbv v mv bv m k k R b a b mvR b mv a mv R k mv b rk dr r k r d f E r rrp ++=++==+===⋅=⎰⎰∝∝求出：由（角动量守恒：机械能守恒：：设最近距离为能零点的）（这是取无穷远处为势处的势能：）解：（ϖϖ4—12．在上题中将排斥力改为吸引力，情况如何？4—13．如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24小时一圈变成每48小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少？4—14．一根质量可以忽略的细杆，长度为 ,两端各联结质量为m 的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。

另一质量相同的质点以速率v 0沿450角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。

求碰后杆的角速度。

2402230202402202202))()()(2121)2(1bv m k k mbv v mv bv m k k R b a b mvR b mv a mv R k mv b r k dr rkr d f E r r r p ++-=++-==+-=-=-=⋅=⎰⎰∝∝求出：由（角动量守恒：机械能守恒：：设最近距离为能零点的）（这是取无穷远处为势初的势能：）解：（ϖϖkml kg M km R kg M 52224108.3,107.6400,106⨯=⨯≈=⨯≈地月距离为月球的质量为地球半径为已知地球的质量为月田田=⨯⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒==---53/23/23/23/23/23/123/123/1222108.322'22/482/24'''l l GM GM l l GM l l M lM GM F ππωωωωωω田田田月月田地月同。