n (a1 an ) 2
也就是说高斯求和法（配对法）可以解决 等差数列前 n 项和的问题。 但是对 n 讨论麻烦了，能否有更好的方法 求前 n 项和公式呢？
这一步学生理解起来 介于清楚和不清楚之 间，需要教师点破， 会使学生豁然开朗， 增添学好的希望。
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2015 级研究生作业
大家可以看看上面的宝石图片，当老师在 它旁边加一块宝石图形后， 你们相互交换下想法。
Sn a1 a2 an 1 an S n an an1 a2 a1
两式相加得：
在等差数列前 n 项和 公式的推导过程中， 通过问题获得知识， 让学生经历“发现问 题——提出问题—— 解决问题”的过程
2 S n n ( a1 a n )
Sn n ( a1 a n ) 2
1+100=101 2+99=101来自50+51=101
高斯求和众所周知， 学生能快速解答。
Sn a1 a2 an 将 首 末 两 项 配
对，第二项与倒 数第二项配对，
怎么算，简单快速。 利用高斯配对的方法法求等差数列的前 n 项和。 老师：是否刚好配对成功呢？ （1） n 为偶数时：
说明
新课引入 提出问题 构建数学模型
据说这幅图下面刻了一句话：速度最快数出图片 中宝石个数的人会得到最多的祝福。请同学们看 看宝石图片，你能最快得出其中宝石的个数吗？ 上面的问题实际上用数学来讲就是求
听故事 赏图片
创设情境，吸引学生 注意力，引起学习兴 趣
让学生动手尝试 给出结果 并说明理由
提出问题，调动学生 思维，为学习本节知 识做准备
2015 级研究生作业
《等差数列前 n 项和（苏科版） 》教学设计
东北师大 2015 级研究生 熊明军 一、教材分析 ● 教学内容 《等差数列前 n 项和》是苏科版现行高中教材第 12 章第 1 节《等差数列》中的内容，本教学设计 为《等差数列前 n 项和》第一课时的授课，主要内容是等差数列前 n 项和公式推导过程的教学。 ● 地位与作用 本节课对 《等差数列前 n 项和》 的推导， 是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步的研究， 其学习前提是学生已掌握等差数列的性质以及知晓高斯求和法等相关知识。 对本节内容的学习， 将为以后学习数列求和提供重要的思想方法——倒序相加， 有承上启下的作用。 二、学情分析 ● 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都 为等差数列前 n 项和的推导教学提供了基础。高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，根据 学生的特点采用数形结合的方法去解决从首尾配对法引出倒序相加，充分调动学生积极性，主动克服公 式推导这个障碍。 三、目标分析 ● 知识与技能 回顾高斯求和法的形式，探索高斯求和法的本质；借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差 数列的前 n 项和公式的推导思路，理解公式的推导过程。 ● 过程与方法 从情境入手，以高斯求和法为引，从特殊等差数列求和分析，结合几何图形变换理解高斯求和的本 质，进而扩展到一般的等差数列求和公式的推导。 ● 情感、态度与价值观 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并 通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。 四、重难点分析 ● 重点：探索等差数列的前 n 项和公式的推导并获得思路。 ● 难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 ● 重难点解决思路：以三角图案中宝石个数入手，深刻思考高斯求和法的本质，借助几何图形的 变换得到等差数列前 n 项和的倒序相加的思路。 五、过程设计 创设情景 提出问题 （2 分） 图片欣赏 新课引入 建立模型 分析本质 （13 分） 师生互动 类比化归 数形结合 推导公式 （10 分） 深化训练 讲练结合 公式记忆 熟练应用 （15 分）
利用数形结合的思 想，使学生对两个公 式有直观的认识，体 会数学的图形语言 学生观察动画演 示，不难发现用 倒置的思想来解 决此问题。 倒序相加求和法是重 要的数学思想，为以 后数列求和的学习做 好铺垫。
认 识 公 式
分析高斯求和法本质，结合图形变换，获得公式推导的思路
图片效果要求：①原图平移生成 ②旋转显示“倒” ③补全呈现每层个数相等 如何把上面图形所要呈现的问题解决方法运用到 等差数列前 n 项和的求解中？ 教师巡视观察，及时发现问题并反馈指导 学生操作，利用 倒序相加求和。
一、高斯求和法
四、例题及解答
二、公式的推导
(辅助性板书)
三、剖析公式： (主板书) (副板书)
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2015 级研究生作业
六、教学过程 教学 环节 泰姬陵是世界七大奇迹之一，坐落于印度古都阿 格，17 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建。陵寝内以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。 其中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶 饰而成，共有 100 层，极度奢靡。 设计
教 师 活 动
学 生 活 动
1 2 3 100 的和是多少！
这个求和问题大家还记不记得哪个伟大的数学家 在小学四年级时就快速的给出了结果？ 他是怎么解决的？ 学生回顾高斯求 和法
问题模型化，让学生 明白数学可以轻松解 决一些问题
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2015 级研究生作业
找一个学生到黑板上演示高斯求和法 让学生说明高斯求和法的操作过程 教师引导，结合高斯求和法分析：设等差数 列{ a n }前 n 项和为 S n ， 则
an
a1
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2015 级研究生作业
． 讲练结合 练 习 教师选取典型例题 学生当堂练习 加深理解 掌握运用
小 结 1、 教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内 容 作 业 2、课后作业： 课后思考： 等差数列的前 n 项和的求和方法 除了倒序相加法 还有没有其它方 法呢?
七、板书设计：
§ 12.1 等差数列前 n 项和
2 1
n S n (a1 an ) 2
2 2 1
Sn a1 a n 1 a n 1 a n 1 an
引导学生发现配对的 困难，初步体会问题 解决的障碍。
配对法的障碍：如何解决落单的 a n 1 呢？
学生参与， 教师主导
Sn
2 n 1 (a1 a n ) a n 1 2 2 a n 1 a n 1 n 1 2 (a1 an ) 2 2 2
2
以此类推，每一 对的和都相等， 并 且 都 等 于
分析高斯求和法，引 出首尾配对求和方 式，并用此法去尝试 解决一般的等差数列 前 n 项和。
分析高斯求和法本质，结合图形变换，获得公式推导的思路
Sn a1 a n a n an
2 1
1 100 101 。
（2） n 为奇数时：
通过对实际问题的解 决让学生认识到数学 来源于生活，同时又 服务于生活
结合公式推导的数形结合 （上底+下底） ×层数， 教师提示将求和公式与梯形建立联系记忆公式。 将求和公式与梯 形面积公式建立 an a1 联系，而梯形面 积公式的推导也 正是利用了倒置 n 的思想。
拓展推广，体会数学 形式的相通性