第2章三维数字散斑相关法三维数字图像相关方法（简称是基于双目立体视觉原理和数字图像相关方法，测量物体表面三维形貌以及三维变形的方法。

本章将讨论的原理及方法。

本章首先介绍数字散斑相关法，然后再介绍双目立体视觉技术。

三维数字散斑相关方法（3D-DSCM）是一种光学测量方法，通过采集目标变形前后的四幅散斑图像，利用双目立体视觉技术进行空间点的重构、二维数字散斑相关方法（2D-DSCM）进行变形前后的空间点的对应，在此基础上完成三维坐标及三维变形的测量。

3D-DSCM 克服了2D-DSCM 只能测量平面物体二维形变的局限，可以获得任意被测表面的空间位移及形变，而且具有实时性、对测量环境要求低、试样准备简单、适用范围广等优点。

2.1 二维数字散斑相关法二维数字散斑相关方法（2D-DSCM）又称为数字图像相关方法（DIC），是基于物体表面散斑图像的灰度特征来进行测量的，根据灰度特征的相关性完成被测物体位移和变形信息测量。

下面是相关搜索的原理，如图 2-1 所示。

数字散斑相关法是一种对试件（受载荷作用下）发生形变前后的散斑场进行相关运算并以此来获得位移全场信息的测量方法。

数字散斑相关法起源于机器视觉的发展，它具有机器视觉的优点——非接触式、全场在线测量等。

数字散斑相关方法是由计算机技术、图像处理技术以及光学技术结合而成的。

相比于前文提及的传统光测法，它的光路相对简单，对测量环境要求低，故其应用面更加广泛。

随着数字化技术迅速发展，其在生物力学、微观结构、材料力学等诸多领域都得到了相对广泛的应用，同时也促进了其他学科的发展。

在基于数字图像相关法的测量实验中，先采集试件变形前后的散斑图像，分别将这两幅图像表示为图像 A 和图(像 ,B。

)如图 2.1 所示，在参考图像(2A（+即1变)×形前2的+图1像）中随机选择一种子点，以P点为中心选择一个 ( )像素大小的样本子区。

然后在图像（即变形后的图像）中通过搜索算法寻找目标子区。

该子区以与样本子区的互相关系数符合要求的点为0 0 中心。

从而进一步确定计算点 P 在 x 和 y 方向的位移量 u 和 v。

之所以为 P 点为中心选择一个样本子区作为搜索点是由于样本子区比单独的计算像素点包含更多的灰度值信息，所以更易于识别。

（样本子区变形位移）而在实际计算中，常将样本子区以一定的宽和高划分成若干个虚拟网格，再通过计算每个虚拟网格节点的位移来近似得到试件表面在变形中的全场位移信息。

数字散斑相关的图像采集系统图像采集的突出优点之一是所使用的实验设备装置比较简单且对样本的图像获取比较容易实现。

图像采集系统主要由光源（自然光、白色光源等）、CCD摄像机、高速图像采集卡和计算机组成，如图2.1所示。

在图像采集过程中，首先使CCD摄像机保持不动，然后给试件加一定的载荷并使之产生形变，从而使其与CCD摄像机产生相对位移。

由于CCD摄像机在图像采集过程中始终保持不动，所以计算机通过高速图像采集卡所获得的相对位移便是试件在该载荷作用下的实际位移。

为防止计算机在图像采集过程中获得较大的测量误差，首先CCD 摄像机一定要安装在固定的三脚架上不移动，并且从采集第一幅图像到最后一幅，这个过程中，三脚架的位置始终固定不动。

CCD摄像机与三脚架这两者之间的位置也不能发生相对移动，即使是CCD摄像机本身产生微小抖动也会使所测量的结果受到很大的影响。

其次CCD摄像机的光轴要与试件表面成近似90°，使试件表面与摄像机镜头垂直，以确保获得精准的位移值。

以上几个条件更加限制了二维数字散斑相关方法的应用范围。

在工程应用中，物体的变形情况往往超出以上要求，为了更好地满足实际应用中对空间形变的测量需求，将2D-DSCM 拓展到 3D-DSCM 是非常必要的，因此在 2D-DSCM 基础上引入双目立体视觉技术以实现离面位移的测量。

2.1.3变形数学模型数字散斑相关方法在对材料的力学分析，归根到底是在求取散斑图像上像素点的位移。

如上一节所述，相关搜索是以窗口为单位进行搜索，那么就得有合适的变量来表征物体变形前后散斑图上所选定窗口位移和变形量。

由于在实际工业中，大多变形都是非线性的变形，非线性变形不仅直接导致窗口位置发生位移，而且窗口的形状也会产生变化。

在参考图片中选取变形前的窗口中心点，设为 P(x , y)，变形后的目标图片对应窗口的中心点 P*(x*, y*)，则变形前后相关点的形变关系为：其中u,v 分别表征变形前后的所选点 P 的 x, y 方向形变分量。

对于大多数试件加载时候，试件形变包含两部分：刚性位移和非线性位移，则在此处引入位移梯度来表征非线性为部分。

如图 2.4 所示：在计算窗口选取中心点 PPy,x P 和点 P 邻域中点 QQy,x Q，根据 Q 与 P 坐标之间关系 Q 点又可表示为 yy,xx QPP。

根据变形前后点之间一一对应关系，参考泰勒公式可将形变数学模型表示为：式中 v,u 代表选取窗口的中心点的位移，分别表示 Q点 y,x 方向的位移梯度，y,x 表示计算窗口中任意点QQy,x Q 与窗口中心点 PPy,x P 之间 y,x方的距离。

根据式（2.3）可知，准确的量化试件在形变过程具体数据，就得计算出式中六个参数。

2.1.4亚像素相关搜索算法(放在最后)在基于数字图像相关法的相关测量中，计算点识别的精度尤为重要，甚至将影响整个测量的精度，所以搜索算法的选择特别重要。

采集得到的散斑图像中记录的是离散的灰度信息，数字图像相关法所处理的是经过数字化、灰度化的图像（最小单位是 1 个像素点）。

在进行样本子区的搜索，样本子区的平移只能以像素为单位进行，因此最后得到的位移量肯定是像素点大小的整数倍。

目前，数字图像相关法常用的整像素搜索方法包括粗 - 细法，交叉搜索和遗传算法。

而在实践中，种子点的位移量可能不是整数个像素点，并且由于有限的像素的 CCD 照相机，在整数像素精度的测量的位移的定位精度是不够的。

为了提高测量精度，需要在整个像素进一步的亚像素位移的计算求解的结果的基础上。

近年来，在二维数字图像相关领域，许多研究人员视图通过利用软件处理的方法来解决数字图像中目标的高精度定位问题。

例如，当算法的精度为 0.1个像素时，就相当于测量系统的硬件分辨率提高了十倍。

因此，对图像中目标进行高精度的亚像素位移定位就成为提高光学测量系统测量精度的重要环节之一。

这种亚像素定位技术具有十分重要的理论意义和实践意义，亚像素位移测量算法对提高测量精度就非常重要，而且已被认为是数字图像相关法中的关键技术之一。

从数字图像相关法提出至今，从众多参考文献中可以查阅到的亚像素位移测量算法主要有以下几种：1）亚像素灰度插值法2）曲面拟合、插值法3）坐标轮换法（十字搜索法）4）Newton-Rapshon 法（简称 N-R）5）拟牛顿法6）灰度梯度法（简称梯度法）7）频域相关法8）后验概率法9）遗传算法10）神经网络算法等等这些算法所能达到的位移测量精度在 0.005-0.1 像素之间不等。

在以上所列的可供选择的算法中，亚像素灰度插值算法因计算量大、精度较低，现已少见于应用；坐标轮换法和 N-R 方法的基本假设相同，两者区别在于具体的计算方法不同，坐标轮换法通过测试来寻求事相关函数满足机织条件的待定参数，N-R方法出现后，该算法也少见于应用；拟牛顿方法与 N-R 方法的却别在于算法实现方法不同，但并不能提高亚像素位移测量精度；频域相关法的计算效率较高，但对变形和转动较为敏感，其定位精度认为是最低的；而后验概率法、遗传算法、神经网络算法等只限于理论研究。

因此，在上述亚像素位移测量算法中，实际上最常见于应用的三种算法是曲面拟合法、梯度法、N-R 法。

文献对这三种亚像素位移测量方法进行了比较，结果显示在计算子区大小相同的情况下，N-R 方法的计算精度最高，但是其计算时间约为其它两种方法的 30 倍左右，梯度法的计算效率与曲面拟合的方法相当，但却有稍高的计算精度。

由于本文的主要工作是将二维的数字图像相关法拓展到三维数字图像相关，并有效、精确的计算出被测物体内部的三维位移场，考虑到三维位移场计算量大的问题，在此只介绍下相对快速的梯度法和曲面拟合法。

2.3.1 曲面拟合法曲面拟合法假设整像素位移相关搜索结果及其相邻 8点（见图2.1，拟合窗口设为3×3 像素）的相关系数矩阵可以拟合为连续曲面，然后以该曲面的极值点位置作为变形后图像子区的中心位置。

通常假设连续曲面可用如下二元二次函数表示：函数 C(x,y)在拟合曲面的极值点即为变形后图像子区中心位置(x0',y0')。

因此，就可由 u=x0-x0'，v=y0-y0'求出变形前图像子区的位移，其中(x0,y0)为变形前图像子区的中心位置，u,v 即为通过上述方法计算得到的 x 和 y 方向的位移。

函数 C(x,y)在拟合曲面的极值点应满足以下方程组：于是，由上式就可求出拟合曲面的极值点位置：即变性后图像子区的中心位置，进而可由 u=x0-x0'，v=y0-y0'求出最终的位移。

2.3.2 梯度法基于梯度的亚像素位移算法是由 Freeman等最初从光流计算中引入并应用到图像定位（Image registration）中。

文献将该方法引入到数字图像相关方法中。

张军等进一步完善了该方法，给出了基于微小区域统计特性的亚像素位移梯度算法的四种不同模式。

基于梯度的亚像素位移算法的基本思想为：令 f(x,y)，g(x',y')分别表示变形前和变形后的图像子区。

根据变形及数字图像的基本假设，当图像子区足够小且物体做微小位移时，则该子区可看成做近似的刚体运动，此时有：（1）（2）其中：u，v 分别为已经求得的当前参考图像子区中心点的整像素位移，Δx ，Δy 分别为 x，y 方向整像素位移对应的亚像素位移。

将式（1）对Δx ，Δy 进行一阶泰勒展开式并舍去高阶小量，可得：其中：gx，gy为灰度的一阶梯度，其计算方法稍后讨论。

对于真实的微小位移Δx 、Δy ，应使下面的最小平方距离相关函数取驻值：（2.18）由公式（2.19）可以看出，利用基于梯度的亚像素位移算法求解亚像素位移的关键是灰度梯度 gx，gy的计算。

不同学者提出了许多灰度梯度算法。

下面列举其中比较常用的几种：（1）Horn 算子。

Davis 和 Freeman 在文献中提到的灰度梯度是由与所求点相邻的 4 个像素点灰度的一阶差分求得。

在此之前这是由Horn 和 Schunck最先在文献中提出的。

文献认为这是一种比较粗略的方法，会引起较大的误差：（2）边缘检测算子。

在数字图像处理中，常常利用小区域模版来近似计算图像在某点 g(x,y)的灰度梯度来进行边缘检测。