第二章平面向量一、选择题1。
在△AＢＣ中，AB＝AＣ，D,E分别就是ＡB,AC得中点，则（）。
A。
与共线B．与共线C。
与相等ﻩD。
与相等2.下列命题正确得就是()。
(第1题) A。
向量与就是两平行向量B.若a,b都就是单位向量,则a=bＣ.若=，则A,B，Ｃ，Ｄ四点构成平行四边形D.两向量相等得充要条件就是它们得始点、终点相同3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3，1）,Ｂ(－1,3)，若点C满足=α ＋β ，其中α，β∈R，且α+β=1,则点C得轨迹方程为().A。
3x＋２y-1１＝０ﻩﻩﻩB.(x－1)2＋（y-1)2＝5C.2ｘ－y=0ﻩﻩD.x＋２y－５＝０4.已知a、b就是非零向量且满足（a-2b）⊥a，（b－2a)⊥b,则a与ｂ得夹角就是（)。
A. ﻩB.ﻩﻩﻩＣ. ﻩD。
5.已知四边形ＡBＣD就是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点Ａ，C),则=（)。
A.λ（+)，λ∈(０,1)ﻩﻩﻩﻩB。
λ(＋）,λ∈(0,）C.λ(-），λ∈(0,１）ﻩﻩﻩﻩＤ。
λ（-),λ∈(0，)６.△ABC中,D，E，F分别就是AB，BC,ＡC得中点，则=().A。
＋ﻩﻩﻩﻩＢ.-C。
＋ﻩﻩﻩＤ。
＋7.若平面向量ａ与b得夹角为60°，|b｜=４，(a+2b)·(a－3ｂ)＝-72,则向量ａ得模为( )。
A。
2ﻩﻩＢ。
4 ﻩﻩC.6 ﻩﻩD.12８。
点O就是三角形AＢC所在平面内得一点,满足·=·=·,则点O就是△AＢＣ得()。
A 。
三个内角得角平分线得交点 ﻩﻩB.三条边得垂直平分线得交点Ｃ．三条中线得交点ﻩﻩﻩﻩﻩﻩD 。
三条高得交点9。
在四边形ABCD 中，＝a +2b ,＝－4a －ｂ，＝-5a -３ｂ,其中ａ,b 不共线，则四边形A ＢCD 为（ )。
Ａ。
平行四边形ﻩﻩB 。
矩形ﻩﻩﻩﻩＣ.梯形ﻩ ﻩ D.菱形10.如图，梯形ABCD 中，||=|｜,∥∥则相等向量就是( )。
Ａ。
与 ﻩB 。
与C 。
与ﻩﻩＤ.与二、填空题1１。
已知向量＝（k ,１2）,=(4，5),＝(－k ，10),且A ，B ,C 三点共线，则k = . 12。
已知向量ａ＝（x ＋3,x ２-3x -4）与相等,其中M (-１,3),Ｎ（1,3）,则ｘ＝ 。
1３.已知平面上三点A ,B ,Ｃ满足||=３,｜｜=４,|｜＝５，则·+·+·得值等于 .１4。
给定两个向量a ＝（３,4），ｂ＝（２,－1),且（ａ＋m b )⊥（ａ－b )，则实数ｍ等于 。
15．已知Ａ,B ,C 三点不共线,O 就是△ＡB Ｃ内得一点，若＋＋=0,则O 就是△ABC 得 .ﻬ16.设平面内有四边形A ＢCD 与点Ｏ，=a ,=b ，=c , ＝d ,若ａ+ｃ=b +ｄ，则四边形ＡBC Ｄ得形状就是 。
三、解答题17.已知点A (2,3）,B (５,4)，C (7,10）,若点Ｐ满足＝+λ（λ∈R )，试求 λ为何值时,点P 在第三象限内?１8.如图,已知△AB Ｃ,A (7，8),Ｂ(3，5)，Ｃ(4，3）,M ,Ｎ，D 分别就是AB ,ＡC ,BC 得中点，且MN 与ＡＤ交于Ｆ,求。
ﻬ１9.如图，在正方形ＡBCD 中，E ，F 分别为AB ,BC 得中点，求证：AF ⊥DE (利用向量证明).20。
已知向量a ＝(c ｏｓ θ,si ｎ θ),向量ｂ＝(，－1),则|２a -b |得最大值.ﻬ参考答案 (第10题)(第18题)(第19题)１．B解析:如图,与，与不平行，与共线反向。
2.Ａ解析:两个单位向量可能方向不同，故Ｂ不对。
若＝，可能Ａ，B，(第1题)C，Ｄ四点共线,故C不对。
两向量相等得充要条件就是大小相等,方向相同,故D也不对。
3。
Ｄ解析:提示:设=（x,y)，=(３，1）,=(－１,3),α ＝（3α,α）,β ＝（-β，３β)，又α＋β ＝(3α-β,α+３β),∴(x,y)＝（3α-β,α＋3β),∴,又α＋β＝１，由此得到答案为Ｄ.4.Ｂ解析:∵（a-２b)⊥a,（b－2a）⊥b，∴(a－2b)·a＝a２－2a·b＝0,（ｂ－２a）·b=b2-2a·b=0,∴a２=b2，即|ａ｜=｜b|。
∴|a|２=２|a｜|b|cｏｓθ=2|ａ｜2ｃosθ.解得ｃｏｓθ=.∴a与b得夹角就是.5.Ａ解析:由平行四边形法则，+=，又＋＝，由λ得范围与向量数乘得长度，λ∈（0,1）.６。
D解析:如图,∵=,∴＝＋=＋.(第6题)7.C解析:由(ａ+2ｂ）·(a－3b)＝－72,得a２-a·b-6ｂ２=-72。
而|b|＝4,a·ｂ＝|a||b｜cos ６0°=２｜a|，∴｜a|２-2｜a|-96＝－72，解得｜a｜=6。
8。
D解析：由·＝·=·，得·＝·,故·＝０,⊥,同理可证⊥，∴O就是△ＡBＣ得三条高得交点.9。
C解析：∵＝++＝-8a-2b＝2,∴∥且||≠||。
∴四边形AＢCD为梯形．1０。
D解析:与,与,与方向都不相同,不就是相等向量。
二、填空题11。
－。
解析:A，B,Ｃ三点共线等价于，共线,＝-＝(4,5)－（k,12)=（4－k,-７）,=－=(－k,10)-(4，5)=(－k－4，5）,又A,B，C三点共线,∴5（4-k）＝-7（-k－4)，∴k=-。
12。
-１。
解析:∵M(－1,3）,Ｎ(1，3）,∴＝(２,0），又a=,∴解得∴ｘ=－1。
13.-25。
解析:思路1:∵=3,=4,＝５，∴△ABC为直角三角形且∠AＢC=９0°,即⊥，∴·=０，∴·＋·＋·＝·+·=·(＋)＝-(）２＝-=-25.思路2:∵ ＝3，=４，＝5,∴∠ABC =90°,∴ ｃos ∠CAB ＝＝,c ｏs ∠BCA =＝.根据数积定义，结合图(右图）知·＝0,·=·cos ∠ＡCE =４×５×（－)＝-16,·＝·cos ∠ＢＡＤ=3×５×(－）＝－9。
∴ ·+·+·＝０―16―9=－25。
１４。
.解析:a ＋ｍｂ＝（3+２m ，４-m ）,a －b =（1，５).∵ (a ＋ｍb )⊥(a －b )，∴ （ａ＋m b )·（a -ｂ)=（３+2m )×１+（4－ｍ)×5＝0m =。
15．答案:重心。
解析：如图，以,为邻边作□ＡＯCF 交ＡC 于点E ,则=+,又 ＋＝－,∴ =2=-．Ｏ就是△ABC 得重心.16.答案:平行四边形.解析:∵ a ＋c ＝ｂ＋d ,∴ ａ-b =d －c ,∴=。
∴ 四边形ＡBCD 为平行四边形。
三、解答题17.λ＜－１。
解析:设点P 得坐标为(ｘ,ｙ)，则=（x ,ｙ）－(２,3)=(ｘ-2，y －3)。
+λ＝（５,4）－(2,3)+λ［（７,10)－(2,3)]＝(３,1)＋λ(5，７)＝(3＋５λ，1＋7λ)．∵ ＝＋λ,∴ （x -２，y -３）＝（３＋5λ,1＋7λ）．∴ 即要使点Ｐ在第三象限内,只需 解得 λ<－1.1８。
=(，2）。
解析：∵ Ａ（7,8)，Ｂ(３,５),C （4，3)， (第15题)(第18题)D (第13题)＝(-４，－３），＝(-3,-5).又Ｄ就是ＢＣ得中点，∴＝（＋)＝(－4－3，－3－５)＝(－7，-8）=(-，-4）.又Ｍ,N分别就是AB，AC得中点,∴F就是AD得中点,∴=-＝-＝-(－,－4)＝(,2)。
19。
证明:设＝ａ,=ｂ，则＝ａ＋ｂ,＝b－a．∴·=(a+b）·（b－a)=b2－a2＋a·ｂ.又⊥,且＝,∴ａ2=ｂ2,a·ｂ=０．∴·＝0,∴⊥.本题也可以建平面直角坐标系后进行证明。
(第19题) 20。
分析：思路1:2a－b=(2ｃos θ－,2sin θ+1),∴|2a-b|2=(2cosθ－）2+(２sin θ+1)２＝8+４sｉn θ－4cos θ．又４ｓiｎθ-４coｓθ＝８（sｉｎθｃos－cosθsin）=８siｎ（θ-)，最大值为8, ∴｜２a-b|2得最大值为16，∴|2a-b|得最大值为4.思路2：将向量２ａ,b平移，使它们得起点与原点重合，则|2a-b｜表示2a,b终点间得距离.|２a|＝2,所以2a得终点就是以原点为圆心,2为半径得圆上得动点P，b得终点就是该圆上得一个定点Ｑ，由圆得知识可知，｜PＱ|得最大值为直径得长为4。