设：
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
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当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
2
线性趋势模型：有时研究者不去估计以上的对数到线性 的 模 型 ， 而 代 之 以 如 下 的 线 性 趋 势 模 型 （ linear trend model） ：
Yt b1 b 2 t u t（ 不 是 对 数
对时间的回归）
即 X 变 动 一 个 单 位 ， Y 变 动 的 比 率 为 b2 或 者 说 Y 变 动 了 100×b2%。 所以对数到线性模型又称为增长模型。它的目的 在于给出 X 的一个绝对的单位变化，找出 Y 的百分比 增长。 当 用 时 间 t(t=1,2,… ,T)作 为 解 释 变 量 时 ， 对 数 — 线性模型为：
二 、 半 对 数 （ Semilog model ） 模 型 ： 线 性 到 对 数 与 对 数到线性模型 1． 对 数 到 线 性 （ Log-lin model） 模 型 ： 只 有 被 解
释变量是对数形式。
ln(Yt ) b1 b 2 X t u t
回归系数的含义：
b2
ln Y Y / Y Y的相对变动 X X X的绝对变动
Y Y b2 （ 是 变 化 的 ） X X
lnX 对 lnY 变 动 的 解 释 比 例。
由于两个模型的因变量不同，所以不可直接比较两个 模型的判定系数并以此为依据来选择模型。 （ p.157）
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3． 多 元 双 对 数 回 归 模 型 ：
模型设定方式：
ln Yt b1 b 2 ln X 2 t b 3 ln X 3 t u t
Y A L K eu
两边取对数得：
ln Y ln A ln L ln K u
Example5.2
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The C-D production function
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PP105— 106 Example5.3 Pp106-107 The demand for energy
2． b1<0， b2>0
Y
UN
0 b1
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X
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实 际 应 用 ： 菲 利 普 斯 曲 线 （ Phillips Curve） X： 失 业 率 ； Y 工 资 变 化 率 图的形状表明， 工资变化对失业率的反应是不对称的： 当失业率低于经济学家所指的自然失业率水平 U （工资 变化（通货膨胀）为零时的失业率）时，失业率的单位 上升（下降）所引起的工资变化率下降（上升）速度要 快于失业率高于自然水平时所引起的工资变化率的下降 （上升）速度。 b1:工 资 变 化 的 渐 进 底 线 （ asymptotic floor） 解释：可能由于制度因素，如工会的讨价能力、最低 工资规定、失业补贴等。 Example5.6 The Phillips curve for the United
N
States,1958 to1969
pp113-114.
Example 5.7 Advisory fees charged for a mutual fund Pp114-115.
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3．
b1>0， b2<0
Y b1
0
X

b2 b1
实际应用：恩格尔消费曲线（一个消费者在某一商品 上的支出与他的总支出或总收入之间的关系的曲线） X： 收 入 ； Y： 对 某 一 消 费 品 的 支 出 。 消费者对某些商品消费的特性： 1． 收 入 上 存 在 某 个 临 界 水 平 或 阈 值 (Threshold
型的假设检验同双变量线性模型完全相同。 ） 双对数模型一般表达为：
ln Yt b1 b 2 ln X t u t
其中斜率为：
b2
ln Y Y / Y Y / Y Y的变动率 常数 ln X X / X X / X X的变动率
即 Y 对 X 的 弹 性 ： 即 X 变 动 百 分 之 一 ， Y 变 动 百 分 之 b。 例 如 ， 如 果 Y 为 某 商 品 的 需 求 ， X 为 价 格 ， 则 b2 为 该 商 品的需求价格弹性。
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四 、 多 项 式 模 型 (Polynomial Regression Model) 1.二 项 式 模 型 （ 抛 物 线 模 型 ） ：解 释 变 量 X 的 最 高 次 幂 为 2。
Yi b 0 b1X b 2 X 2 u i
图形之一：U 形曲线
Y
X
实 际 应 用 ： 边 际 成 本 函 数 。 X： 产 出 ； Y： 边 际 成 本 （ MC） 或 平 均 成 本 （ AC） 。 开 始 随 着 产 出 的 增 加 ，MC 或 AC 下 降 ，但 到 了 一 定 的 产 出 水 平 后 ， MC 或 AC 转 而 上 升 。 2． 三 项 式 模 型 ： 解 释 变 量 X 的 最 高 次 幂 为 3。
（ instantaneous） 增 长 率 。
复利公式：
Yt Y0 (1 r ) t ， 其 中 ， r
为 Y 的复利或复合
（ compound） 增 长 率 ， Y0 为 Y 的 初 始 增 长 水 平 。 对复利公式两边取自然对数得：
ln(Yt ) ln Y0 ln(1 r ) t
三 、 双 曲 函 数 模 型 (倒 数 模 型 ) 又 译 为 倒 数 模 型 (Reciprocal Model):
Yi b1 b 2 (
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1 ) ui Xi
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倒 数 模 型 的 特 点 ： 随 着 X 的 无 限 增 大 ， Y 趋 于 b1。 b1 为 渐 进 值 或 极 值 （ Limit or asymptotic value） 。 因此倒数模型有一内在的渐进线或极限值，当变量 X 值无限增大时，因变量将取此极限值。 倒数模型的图形：
1．
b1>0， b2>0
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1 0 X
实际应用： X： 产 出 ； Y 平 均 成 本 （ AC） 。 随着产出的增大（由于固定成本被分摊到大量的单位 产品上） ， AC 连 续 的 下 降 ， 直 至 最 后 渐 进 于 一 条 位 于 b1 处的产出轴。 X： 人 均 GDP； Y： 儿 童 死 亡 率 。 随着国家收入上升，儿童死亡率下降，但随着收入的 上 升 ， 下 降 逐 渐 减 弱 ， 最 后 死 亡 率 趋 进 于 b1。
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
此时，回归系数的含义为：
b2
ln Y Y / Y (Yt Yt 1 ) / Yt Yt Yt 1 t t t ( t 1) Yt
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所 以
b2 就 是
Y 的 增 长 率 。 此 增 长 率 又 称 为 瞬 时
第 5章
回归方程的函数形式
一 、 双 对 数 线 性 （ Log-linear Model or Double-log Model） 模 型 指的是线性模型中，解释变量和被解释变量都以对 数的形式出现。 1． 双 变 量 双 对 数 模 型 模型的设定方式：
u Yt a 1X a t e
2 t
（非线性模型，但可线性化。 ）
Y 对 时 间 的 回 归 ，而 是 Y
时 间 变 量 t 称 为 趋 势 变 量 （ trend variable ） 。趋势： 指变量的行为中的一种持续上升或下降运动；若斜率系
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数 为 正 ，则 Y 中 有 一 上 升 趋 势 ，反 之 ，若 斜 率 系 数 为 负 ， 则 Y 中 有 一 下 降 趋 势 。 此 时 斜 率 系 数 b2 的 含 义 ： 每 年 Y 增 长 的 绝 对 量 为 b2 个 单 位 。 增长模型和线性趋势模型之间的取舍：在两个模型 都通过显著性检验的情况下，依赖于人们对实际 Y 的相 对或绝对变化的兴趣。 （ 同 样 ，不 能 直 接 比 较 两 个 模 型 的 判定系数，因为它们的因变量并不相同。 ）