排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握•然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目•本文将总结常见的类型及相应的解法•一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有A3 = 6种，然后再将甲、乙二人全排列有A；= 2种，所以共有6X 2 = 12种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是A5 = 120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图O X 0X 0X 0X 0 “X”表示空位，“0”表示5个同学）有A2 = 2 种方法•则共有A5A2 = 440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种•分析：优先排女的（元素优先）•在中间四个位置上选一个，有A4种排法•然后将其余5个排在余下的5个位置上，有A5种方法•则共A4A5 = 480种排法•还可以优先排两端（位置优先）•四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”•如图：XX | X | XXX | XXXX一种插法对应于一种分法，则共有C9 = 84种分法•五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和•例5由数字0, 1 , 2, 3, 4, 5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A ）210 个（B）300 个（C）464 个（D）600 个分析：由题意知，个位数字只能是0, 1, 2, 3, 4共5种类型，每一种类型分别有A5个、A；A；A3个、A；A；A3个、A；A；A3个、A；A3个，合计300 个，所以选B 例6用0, 1 , 2, 3,…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有C3C5A5种，其中0居首位的有C3C4A4种，故符合条件的五位数共有C3C；A5 C3C；A：= 11040个•【解法2】按元素分类：奇数字有1, 3, 5, 7, 9;偶数字有0, 2, 4, 6, 8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的•①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有C5C2A5个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有A4种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有C3C4A4A4种排法•综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有C3C：J A5 + C3C4A4A4 = 11040个•例8由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A = ｛满足题设条件，且百位数字是3的自然数｝, B= ｛满足题设条件，且比20000 大的自然数｝，则原题即求card BI e u A，画韦恩图如图，阴影部分即 B I e u A，从图中看出card BI e u A card B AI B .又AI B? B，由性质2,有card B AI B card B card AI Bcard B即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知1 4card B A4A 4.card AI B即由数字1，2，3，4, 5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知card AI B A；A；，所以card BI e u A A：A：A；A；= 78.即可组成78个符合已知条件的自然数•典型例题例1用0到9这10个数字•可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1:当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4 A8 A2 (个)••••没有重复数字的四位偶数有A g A1 A8A S 504 1792 2296 个.例2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？5解：(1 )先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A A4= 43200.(2) 先排舞蹈节目有A：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。

所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A：A = 2880种方法。

例3某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1：6六门课总的排法是A6，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有A55种排法，如图中I;数学排在最后一节有A种排法，如图中n；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中川，这种情况有A：种排法，因此符合条件的排法应是:A 2A5 A4504 (种).例4现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：________ ，然后把3名司机和3名售票员分别填入•因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A 6种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有A 6种安排方法•故搭配方案共有A A 36种.例5下表是高考第一批录取的一份志愿表. 如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择•若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？解：填表过程可分两步•第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有A3种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有 A A A种•综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：代AA, Al A 5184种.例6 7名同学排队照相.(1) 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2) 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？解：(1) A A：A 5040 种.⑵第一步安排甲，有A；种排法；第二步安排乙，有A4种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有A；A：A f 1440种.(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 4个元素排成一排，即看成 5个元素的全排列问题，有 A 55种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A 3种排法•由分步计数原 理得，共有 A A 720种排法.（4）第一步，4名男生全排列，有 A ：种排法；第二步，女生插空，即将 3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A 3种插入方法.由分步计数原理得，符合 条件的排法共有： A ： A 1440种.例8 a,b,c,d,e,f 六人排一列纵队，限定 a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不 相邻），求共有几种排法•对这个题目，A 、B 、C 、D 四位同学各自给出了一种算式： A 的 算式是-A,6 ； B 的算式是（A 1 A ； A 3 A 4 A 5）A ; C 的算式是A ；22 4D 的算式是C 6 A •上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由.解：A 中很显然，“ a 在b 前的六人纵队”的排队数目与“ b 在a 前的六人纵队”排队数目 相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和•这表明： A 的算式正确.B 中把六人排队这件事划分为 a 占位，b 占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法 求出总数，注意到a 占位的状况决定了 b 占位的方法数，第一阶段，当a 占据第一个位置时，b 占位方法数是 A ；当a 占据第2个位置时，b 占位的方法数是 A 4 ；……；当a 占据第5个位 置时，b 占位的方法数是 A -1，当a , b 占位后，再排其他四人，他们有 A 种排法，可见B 的 算式是正确的.4C 中A 可理解为从6个位置中选4个位置让c,d , e, f 占据，这时，剩下的两个位置依 前后顺序应是a,b 的•因此C 的算式也正确.2D 中把6个位置先圈定两个位置的方法数 C 6，这两个位置让a,b 占据，显然，a,b 占据 这两个圈定的位置的方法只有一种（ a 要在b 的前面），这时，再排其余四人，又有 A ：种排法， 可见D 的算式是对的.例9八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少 种安排办法？解法1:可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在 前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”； “其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A4 A- A A4A4A5 8 640（种）•解法2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法•把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是A1A •在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是A1C2A3A1A5 .其中第一个因数A1表示甲坐在第一排的方法数，C2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个A：则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，A5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为A：A；A4C2 A3 A：A5864O（种）.说明：解法2可在学完组合后回过头来学习.例10计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）•A• A A5B. A；A：A5C. C3 A：A；D•A；A：A 解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A；种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求•所以共有A；A A；种陈列方式.•••应选D •说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列•本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题.例11由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）•A • 210 B. 300 C. 464 D • 600解法1:（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有5 A5种，所以其中个位1数字小于十位数字的这样的六位数有1 5 A5 300个2解法2:（间接法）：取0,1, , 5个数字排列有A6,而0作为十万位的排列有A，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有1（A65 A 5） 300（个）.2 •应选B .说明：（1）直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解•（2）“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法•例12用1,2,3,4,5，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A . 24 个B . 30 个C . 40 个D . 60 个 分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用 概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断.解法1 :分类计算.将符合条件的偶数分为两类•一类是 2作个位数，共有 A ：个，另一类是4作个位数，也有A 2个.因此符合条件的偶数共有 A ： A 4"24个.解法2:分步计算. 先排个位数字，有 A 2种排法，再排十位和百位数字，有A ：种排法，根据分步计数原理, 三位偶数应有 A 2 A4 24个.解法3:按概率算.用1 5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 2此三位偶数共有60 - 24个.5解法4:利用选择项判断.用1 5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有因此偶数的个数应少于 30个，四个选择项所提供的答案中，只有A 符合条件. •••应选A .例13用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数, 数字的3位偶数？（2）可以组成多少个无重复数字且被 3整除的三位数？分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0,由于个位用或者不用数字 0,对确 定首位数字有影响，所以需要就个位数字用 0或者用2、4进行分类.一个自然数能被 3整除的条件是所有数字之和是 3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就 用与不用数字0进行分类.解：（1）就个位用0还是用2、4分成两类，个位用0,其它两位从1、2、3、4中任取两数排列，共有 A 12（个），个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有2 4 4 32（个）, 所有3位偶数的总数为：12 32 44（个）.（2）从0、、2、3、4、5中取出和为 3的倍数的三个数，分别有下列取法： （0 12）、 )•3 2A 60个，其中偶点其中的一.因 5 A 60个.其中偶数少于奇数, （1）可以组成多少个无重复（0 15）、（0 2 4）、（0 4 5）、（1 2 3）、（13 5）、（2 3 4）、（3 4 5），前四组中有0 ,后四组中没有0 ,用它们排成三位数，如果用前4组，共有4 2 A；16（个）,如果用后四组,共有4 A3 24（个），所有被3整除的三位数的总数为16 24 40（个）.例14 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为1、2、3、4、5、6、7 •先选定两个空位，可以在1、2号位，也可以在2、3号位…共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、2号，则另一空位可以在4、5、6、7号位，有4种可能，相邻空位在6、7号位，亦如此•如果相邻空位在2、3号位，另一空位可以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类•本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻.解答一：就两相邻空位的位置分类：若两相邻空位在1、2或6、7，共有2 4 A： 192（种）坐法.若两相邻空位在2、3 , 3、4 , 4、5或5、6，共有4 3 A 288（种）不同坐法，所以所有坐法总数为192 288 480（种）.解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有A4A 480（种）不同坐法.解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有A4种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有A f种不同方法.三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有A4 10种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为 A A 10 A4 480（种）.。