常州市2019届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．设集合}{2A x x =≤，2{1}y y B x ==-，则A B ⋂= ▲ ． 2．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ⊥，则实数x 的值为 ▲ ． 3．设x ∈R ，则38x >是2x >的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S = ▲ ． 5．已知()f x '是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数α满足()()3f f αα'= ，则tan 2α的值为 ▲ ．6．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数λ的值为 ▲ ．7．已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲ ．8．在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是 ▲ ．9．函数()log 31a y x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为 ▲ ．10．已知λ∈R ，函数()245,1,xx x x f x e x λλ⎧--<=⎨-≥⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则实数λ的取值范围是 ▲ ．11．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，若3BC CE =，AF AB λ=，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ▲ ．12．已知不等边ABC ∆（三条边都不相等的三角形）的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()()221cos cos 2a b B c C b c -=-，则A ∠的弧度数为 ▲ ．13．已知定义在R 上的函数()xf x =若存在实数a ，使得对任意实数x 都有()f x a k -<成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．14．若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()sin A B C +=8sin sin sin 7B C A +=，7=a .⑴ 求角A 的值； ⑵ 求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分）已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =，()2cos 2OB x x=，R x ∈，若()f x OA OB =⋅.⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．17．（本题满分14分）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大18．（本题满分16分）已知函数22()ln f x x ax a x =--． ⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分16分）设函数()()()3f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈．⑴ 若1t =，0m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； ⑵ 若9m =，求()f x 的极值； ⑶ 若曲线()y f x =与直线()y x t =---求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为nS ．已知()()*623N n n S n a n n =++∈，设()()412121n n a c n n -=-+.⑴ 求证：当2n ≥时，1n n c c --为常数； ⑵ 求数列{}n a 的通项公式；⑶ 设数列{}n b 是正项等比数列，满足：11b a =，32b a =，求数列{}n n a b 的前n 项的和n T ．2019届第一学期期中考试 高三理科数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1． {} -21x x ≤≤ 2．2 3．充分不必要 4．24 5． 43- 6．1 7． (,2)(4,)-∞+∞ 8． EF9．3+． (]()1,05,-+∞ 11． 1412．23π 13．1214．(]6,9 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）由A B C π++=，故A C B cos )cos(-=+，得sin A A -=，----------------------------------------------------------------------------2分即2sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin 32A π⎛⎫-=⎪⎝⎭------------------------------------------------4分又2333A πππ-<-<，∴33A ππ-=， 即23A π=；-----------------------------------------------------------------------------------------------7分 （2）由已知8sin sin sin 7B C A +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得87b c a +=， 7a =，8b c ∴+=，----------------------------------------------9分由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 得bc bc bc c b -=+-+=642)(492，解得15=bc ，-------------------------------------------------------------------------------------------12分∴ABC∆的面积为4315sin 21=A bc ．---------------------------------------------------------14分16． 解： (1)由题意()cos ,1OA x =，()2cos ,3sin 2OB x x =， 所以()22cos 3sin2cos23sin212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，----------------3分 ∴的最小正周期为2ππ2T ==，---------------------------------4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以的单调递增区间为[,],36k k k Zππππ-+∈.--------------------------------------------6分 (2)由(1)得()2sin(2)16f x x π=++，所以将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数2sin()16y x π=++；---------------------------------------------------------------------------8分再将得到的图象向左平移4π个单位，得到()52sin()12sin()14612g x x x πππ=+++=++，-----------------------------------------10分5,1212x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣∈⎦，5,35612x πππ⎡+∴∈⎤⎢⎥⎣⎦，当51256x ππ+=即512x π=时，()min 552sin 12126g x g ππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，----------------------13分 即函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2． ---------------------14分17．解（1）由题意知()2120010,210()1200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），---------2分()2(2)1200102560p k =--=，10k ∴=，-----------------------------------------3分()22200200,21012001010,210()1200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪∴==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩，----------------5分()2(6)1200101061040p ∴=-⨯-=，-----------------------------------------6分（2）由6()3360360p t Q t-=-，可得 ()212001010560660,2103840360,1020t t t Q t t ⎧⎡⎤---⎪-≤<⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦=⎨⎪-≤≤⎪⎩，-----------------------------------------8分当210t ≤<时，()3661401061401012120Q t t ⎡⎤⎛⎫=-+≤⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当且仅当6t =时等号成立；-----------------------------------------10分当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，------12分 ∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.- ----- 14分18．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()222'222x a x a a x ax a f x x a x x x +---=--==，------------------------------2分①若0a =，则2()f x x =，在()0,+∞单调递增；-----------------------------------------3分②若0a >，则由()0f x '=得x a =．当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增；-----------------------------------------5分③若0a <，则由()0f x '=得2ax =-． 当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当,2ax ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．---------------------------------------7分（2）①若0a =，则2()f x x =，所以()0f x ≥．-----------------------------------------8分 ②若0a >，则由（1）得， 2min ()()ln f x f a a a ==-，从而当且仅当2ln 0a a -≥即1a ≤时，()0f x ≥，01a ∴<≤.-----------------------------------------11分③若0a <，则由（1）得， 2min 3()()ln 242a a f x f a ⎡⎤⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，-------------13分 从而当且仅当23ln 042a a ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即342a e ≥-时，()0f x ≥，3420e a ∴-≤<.-----------------------------------------15分 综上，实数a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.-----------------------------------------16分 19．解：（1）函数()()()3f x x t m x t =---，1t =，0m =时，()()31f x x =-，()()2'31f x x ∴=-，()01f ∴=-，()'03f =，-----------------------------------------2分∴()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为31y x =-；-----------------------------------------3分（2）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，()()(2'393f x x t x t x t =--=--，-----------------------------------------4分 令()'0f x =，解得3x t =+或3x t =-；当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表； x （﹣∞， 3t -） 3t - （t 2﹣，t 2+）3t +（3t ++∞）()'f x + 0 ﹣ 0 + ()f x 单调增 极大值 单调减 极小值单调增 ----------------------------------------6分 ∴()y f x =的极大值为(((333933f t -=--=， 极小值为((333363f t +=-=-；-----------------------------------------8分（3）令u x t =-，可得()31420u m u +-+=；设函数()()31g x x m x =+-+，则曲线()y f x =与直线()y x t =---()y g x =有三个不同的零点；-----------------------------------------9分 又()()'231g x x m =+-，当1m ≤时，()'0g x ≥恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意； ----------------10分当1m >时，令()'0g x =，解得1x =2x = ∴()g x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上也单调递增；∴()g x 的极大值为())321109m g x g ⎛-==+> ⎝；极小值为())32219m g x g --==+；-----------------------------------------12分 若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；若()20g x <，即()321m ->，解得7m >，-----------------------------------------13分2x >，0g =>，且1x -<； ((610g m -=--<，-----------------------------------------15分 从而由()g x 的单调性可知，()y g x ∴=在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意；∴m 的取值范围是()7,+∞．-----------------------------------------16分20．解：（1）由题意：n =1时，111651,1S a a =+∴=；--------------------------------------1分当2n ≥时，116(21)1n n S n a n --=++-，16(23)(21)1n n n a n a n a -∴=+-++，1(23)(21)1,n n n a n a -∴-=+-1(21)123n n n a a n -+-∴=-， -----------------------------------3分()()()()()()()()1111(21)141414141232121232121212321n n n n n n n a a a a n c c n n n n n n n n ----+------∴-=-=--+---+--()()()()114141023212321n n a a n n n n ----=-=----，--------------------------------------5分 ∴当2n ≥时，1n n c c --为常数0. --------------------------------------6分（2）由（1）得，{}n c 是常数列. 1141113a c -==⨯，11n c c ∴==，----------------------------------8分()()4112121n a n n -∴=-+，∴ 2n a n =.--------------------------------------10分（3）由（2）知：131,4b b ==，数列{}n b 是正项等比数列，所以，公比为2，12n n b -=，2321142921622n n T n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯……③，2322242922n n T n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯……④，③-④得：23121325272(21)22n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+--⨯，-------------------------------------12分设2311325272(21)2n n P n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-……⑤， 2312123252(23)2(21)2n n n P n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-……⑥， ⑤-⑥得：231122222222(21)2n n n P n --=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--，--------------------------------------14分 12(22)(21)2,(23)23n n n n n P n =+---∴=-+，2(23)23n n T n n ∴=-+-.-----------------------------------------16分。