立体几何的综合应用一、 知识梳理： 线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、 归、构造等方法解题。

二、 训练反馈 1如图，以长方体 ABCD-A i B i CD 的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是 （注：只写出其中一个， A — ABC 等2、在平面几何中有: 并在图中画出相应的四面体）Rt △ ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为P — ABC 中，PA PB PC 两两互相垂直，且 2 一结论，在三棱锥 2 2 2 —ABC 的高为 h ,则结论为 _1/a +1/b +1/c = 1/ h 3、如图一，在△ ABC 中，AB 丄AC ADL BC, D 是垂足，则 AB 2题：三棱锥 A — BCD （图二）中，ADL 平面 ABC AC L 平面 BCD S ABC S BCO S BCD ， 上述命题是 （A ） A.真命题 B.假命题C •增加“ ABL AC 的条件才是真命题D.增加“三棱锥A — BCD 是正三棱锥”丄 b 2 PA=a PB=b, PC=C 此三棱锥 P h ，则丄 a 丄。

类比这 h 2 BD BC （射影定理）。

类似有命 O 为垂足，且 0在厶BCD 内，贝U 的条件才是真命题图4、下列四个正方体图形中， AB// MNP 的图形的序号疋DP 分别为其所在棱的中点，能得出 图一A 、B 为正方体的两个顶点， ①③（写出所有符合要求的图形序号） ① ②③ ④5、如图，在正方体 ABCD-A i B i GD 中，EF 是异面直线 AC 与 A i D 的公垂线,则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线(A )中点，AC>AD设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为二面角P—BC-A的平面角为，则、、的大小关系是(A )A. < <B. < <C.< <D. < <三、典型例题例1.如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1G的侧棱BB上一点，PM L BB交AA于点M, PN^ BB 交CC 于点N.(1)求证：CC丄MN(2)在任意△ DEF中有余弦定理：DE=DF+EF —2DF- EF COS DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.(1)证：••• CC//BB 1 CC丄PM CC丄PN 二CC平面PMN CC丄MN⑵解：在斜三棱柱ABC-ABG中，有S ABB1A1 s Bg S ACC1A1 2S BC"S AC^COS其中为平面CCB1B与平面CCAA所组成的二面角.•••CC丄平面PMN •••上述的二面角为/ MNP在厶PMN KPM=PN+MN— 2PN- MN3OS / MNPPhMcc2=PN2Cc2+MrNcc2 —2 ( PN- CC) • ( MN- CC) COS / MNPA.有且仅有一条B.有二条6、如图，在三棱锥P—ABC中，PA!平面ABC /C.有四条AB的由于 S BCC 1B1PN CC1, S ACC 1A 1MN CC 1,S ABB 1A 1PM BB 1，•有 S A B B 1A 1 2 2 S BCC 1B 1 S ACC 1A 1 2S BCC 1B 1 S ACC 1A 1 COS 2S , 中，侧面AABB 丄底面ABC 侧棱AA 与底面ABC 成 60°的角,1 AA=2 .底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为 G 点。

E 是线段BC 上一点，且BE —BC .3 例2、如图，在斜三棱柱 ABC- ABC i(1) 求证：GE //侧面 AAB i B ; (2) 求平面 BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小 解：(1)延长BE 交BC 于F,1 1• -BF= — B 1C 1= B 2 2 •••G 为AAEC 的重心，「.A 、G 、F 三点共线，且 FE 1 ——=—,• GE// AB ,FB 13 又 GE 侧面 AABB, • GE//侧面 AABB (2)在侧面 AABB 内，过 B 作B 1H 丄AB ，垂足为H,：•侧面 • B 1H 丄底面 ABC 又侧棱 AA 与底面ABC 成 60°的角，AA F 2 , •••△ BiEO ^A FEB, BE = C,从而F 为EC 的中点. AA i B i B 丄底面 ABO•••/ B 1 BH=60 °,BH=1, BH= ,3 .在底面 ABC 内,过H 作HT 丄AF ，垂足为T,连 B 1T.由三垂线定理有 B T 丄AF,又平面BGE 与底面ABC 的交线为AF,「./ B TH 为所求二面角的平面角. •••AH = AB + BH=3,/HAT=30°, •HT = AH si n30 0 =3,2在 RtA B HT 中，tan/ B 1 TH= B 1H = , HT 3 从而平面BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 乙33 例 3、如图，在矩形 ABCDK AB= 丁3 , BC= a ,又 PA!平面 ABCD PA= 4. (1) 若在边BC 上存在一点 Q 使PQL QD 求a 的取值范围; (2)当BC 上存在唯一点 Q 使PQL QD 寸， 求异面直线 AQ 与 PD 所成角的大小；⑶ 若a = 4,且PQL QD 求二面角 A - PD-Q 的大小.A B方法一(1)解：以 DA 、AB 、AP 为 x 、y 、 巳0, ,3 , 0) , C ( — a , 设Qt ,戎，z 轴建立空间直角坐标系，则 、3 ,0),0)，则D — a , 0 , PQ = (t , ,3 , — 4) , DQ = (t + a , ■. 3 , 0) 0) , P (0 , 0, 4)•/ PQL QD •- PQ a 》2 ■. 3 .⑵解：••• BC 上存在唯一点AQ = ( — ■ ；3 , ■. 3 ,DQt(t0),AQ PDa) 3 = 0PQ 丄QD •△= PD = ( — 2 .3 , 0 , •- cos AQ , PD|AQ ||PD |故异面直线AQ 与PD 所成角为arccos22t + at + 3 = 0①•- △= a — 12》0a 2— 12= 0 a = 2 3 , t =— .3—4)6 ■ 42 6 2,714、4214 .QML AD Mt , 0 , 0) (3)解：过 Q 作 QM CD 交 AD 于 M 贝U•/ PAL 平面 ABCD •- PAL QM 又 QML AD •- QML 平面 PAD 过M 作MN L PD 于 N,连结NQ 由三垂线定理知 QN L PD •••/ MN 健二面角 A — PD- Q 的平面角设 N (m 0 , n ),则 NM = (t — m 0 ,—n ) , NQ = (t — m ,3 , — n )ND = ( — 4— m , 0, — n )PD 共线，• NM •/ MNL PD, ND PD cos MN , NQ NM NQ| NM || NQ | 0 ,PD2n 22ND 得：m + n — t = 0 , n — n = 4 ②2n 2 i2n 2 3由①得：t =— 1或t = — 3,由②得:当t =— 1时, cos NM ,ND 二面角 A- PD- Q 的大小为arccos,15----------- 当 t =— 3 时，cos NM ,ND 5J5卡 、门或 arccos —57方法二(1) 解：设 BQ= t ,贝U PQ = 19 +12, QD = 3 + (a — t )2, PD = 16+ a 22 2 2 2由 PQL QD 得：19+1 + 3+ (a — t ) = 16+ a ,即 t — at + 3 = 0 a 》2 .3 . (2) 解：••• BC 上存在唯一点 Q 使 PQLQD •△= a 2—12= 0 是BC 中点 取 AD 中点 R, PA 中点 S ,连 RS RC 贝U RS// PD RC/ AQ 成角 2a — 12>a = 2、3 , t = .. 3 ,故 QRSC 就是异面直线AQ 与 PD 所RS -PD 2-.7 , RC AQ 、6 , SC 、SA 2 AC 2 •、192 2 2RS 2 RC 2 SC 2 2RS RC⑶ 解：同方法一得/ MN 健二面角A — PD- Q 的平面角•- cos RSC也故异面直线 14 AQ 与 PD 所成角为arccos 丄丝.14在Rt △ PAD中,MNPANQ DQPQ PDNQMB 4 tMN -------- 在Rt△ PQD中,PD . 219 t2 3 (4 t)2cos MNQ 仝NQ42_ j4(4 _t)19 t2 3 (4 t)2由①得t =1或t =3当t = 1时, 当t = 3时, cos MNQ7 15•••二面角A- PD- Q的大小为arccos7.7或arccos——5 7四、巩固练习1、在下列关于直线A .若I 卩C.若I丄卩m与平面丄卩,则l丄卩,则I2、如图，在棱长为2丄// a.的命题中，真命题是（B）B.若I丄卩且 //D .若A 3 =m K I卩,则I丄a.// m 则I //的正方体ABCD A^B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是C®、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于A. .J05D.F平移至点O，则点2.B （提示：将D1F中的点D1移至C1D1的中点，记为点G，由正方体棱长为2，可求得D1F OG OE \ 2，则cos3 .155 )3、如图，定点A和B都在平面PC AC。

那么，动点C在平面A. 一条线段，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点内，定点P内的轨迹是B.D.PB , C 是（）一个圆，但要去掉两个点半圆，但要去掉两个点内异于A和B的动点，且B （提示：由三垂线定理的逆定理可知AC BC，故C在以AB为直径的园上，但除去A、B两点）设P是60的二面角丨内一点，PA 平面,PB 平面，A, B为垂足，PA 4,PB 2,则AB的长为()A. 2 3B. 2、.5C. 2 . 7D. 4.24. C （提示：由二面角知识可得APB 1200，根据余弦定理解得AB 2、. 7.）5、由图（1）有面积关系：S PABS PABPA PB则由PA PB '图(1)（2）有体积关系：V P ABC图⑵5P PA誌（提示：类比即得6、如图,的角为在正三棱柱，贝U =ABCAB i C 中,(A. B.6.D （提示：由正三棱柱特点,的平行线交平面DGsinAD已知AB=1,C.D在棱BB上，且B[=1,若AD与平面AACQ所成.<10arcs in4 D.•晶arcsin —44取AC中点AC i于点G，则必有DGBE 32 -，即AD 2 4E ,连接BE ,可得BE 平面AC i，再过点D作BE平面AC1，连AG ,则DAG为，在Rt ADG中,v 6arcsin .)47、在棱长为4点P在棱CC上，且CC=4CP.（I ）求直线AP与平面BCCB1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（II ）设O点在平面DAP上的射影是H,求证：（川）求点P到平面ABD的距离.的正方体ABCD-ABCD中,0是正方形A B i CD的中心,DH丄APCP解：⑴连接BP , AB 平面BCC& , AP与平面BCG 所成的角就是APB 。