2013年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）
数学（理科）
注意事项:
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合},4)1(|{2
R x x x x M ∈<+=，}3,2,1,0,1{-=N ，则=N M
（ A
）
A 、}3,2,1,0{
B 、}2,1,0,1{-
C 、}3,2,0,1{-
D 、}3,2,1,0{
2．设复数z 满足i z i 2)1(=-，则=z
（ A
）
A 、i +-1
B 、i --1
C 、i +1
D 、i -1
3．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a
（ C
）
A 、
3
1
B 、3
1-
C 、
9
1
D 、9
1-
4．已知m ，n 为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β。
直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ， β⊄l ，
则
（ D ）
A 、βα//且 α//l
B 、βα⊥且 β⊥l
C 、α与 β相交，且交线垂直于l
D 、α与 β相交，且交线平行于l
5．已知5
)1)(1(x ax ++的展开式中2
x 的系数为5，则=a
（ D
）
A 、-4
B 、-3
C 、-2
D 、-1
6．如果执行下边的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=
（ B
）
A 、101
31211++++
B 、!101
!31!211++++
C 、11
131211++++
D 、!
111
!31!211++++
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是)1,0,1(，)0,1,1(，)1,1,1(，)0,0,0(，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为 （ A ）
A
B
C D 8．设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则
（ D
）
A 、a b c >>
B 、a c b >>
C 、b c a >>
D 、c b a >>
9．已知0>a ，x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ,若y x z +=2的最小值为1，则=a （B ）
A 、
4
1
B 、
2
1 C 、1 D 、
2 10．已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(，下列结论中错误的是
（ C
）
A 、R x ∈∃0，0)(0=x f
B 、函数)(x f y =的图像是中心对称图形
C 、若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减
D 、若0x 是)(x f 的极值点，则0)('0=x f
11．设抛物线C ：)0(32
>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的圆过
点)3,0(，则C 的方程为
（ C ）
A 、x y 42
=或x y 82
=
B 、x y 22
=或x y 82
= C 、x y 42
=或x y 162
=
D 、x y 22
=或x y 162
=
12．已知点)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(B ，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部
分，则b 的取值范围是
（ B ）
A 、)1,0(
B 、)2
1,221(-
C 、]3
1,221(-
D 、)2
1,31[
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=∙
2
．
14．从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为14
1
，则=n
8
．
15．设θ为第二象限角，若2
1
)4
tan(=
+
π
θ ，则=+θθcos sin
． 5
10-
16．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n nS 的最小值为 -49
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分） △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=．
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若2=b ，求△ABC 面积的最大值．
19．（本小题满分12分） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元。
根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示。
经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品。
以X （单位：t ，150100≤≤X ）表示下一个销售季度内市场需求量，以T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元地概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若)110,100[∈X ）则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入)110,100[的利润T 的数学期望．
（Ⅰ）求M 的方程； （Ⅱ）C 、D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数)ln()(m x e x f x
+-=．
(Ι)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）当2≤m 时，证明0)(>x f ．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22． （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ∙AE=DC ∙AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆。
（Ⅰ）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； （Ⅱ）若DB=BE=EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
A B D E
C F
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线C ：)(sin 2cos 2为参数t t y t
x ⎩
⎨
⎧==上，
对应参数分别为α=t 与)20(2παα<<=t ， M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且1=++c b a ，证明：
（Ⅰ）3
1≤
++ac bc ab ； （Ⅱ）12
22≥++a
c c b b a ．。