Fmax ( z) FX1 ( z) FX2 ( z) FXn ( z),
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度 为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为
(1)求行列式 Z
X1 X3
X2 X4
的概率分布；
(2)线性方程组
X X
1 3
y1 y1
X2 X4
y2 y2
0 0
只有零解的概率。
解：(1)记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则=Y1-Y2，且Y1和Y2 独立同分布：
P{Y1 1} P{Y2 1} P{ X 2 1, X 3 1} 0.16 P{Y1 0} P{Y2 0} 1 0.16 0.84
1 2a
,
a
x
a,
fY
(
y)
1 2a
,
a
y a,
0, 其它.
0, 其它.
因此
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
显然仅当
a a
xa zx
, a
即x
a
a
x
a z
x
时, a
上述积分不等于零 。
因此，当0≤z<2a时，
fZ (z)
a
za
1 2a
1 2a
dx
随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值：-1，0，1。
P{Z 1} P{Y1 0,Y2 1} 0.84 0.16 0.1344
P{Z 1} P{Y1 1,Y2 0} 0.16 0.84 0.1344 P{Z 0} 1 2 0.1344 0.7312
于是行列式 Z 的概率分布为
P{X z}P{Y z} FX (z)FY (z). Fmin (z) P{N z} 1 P{N z}
1 P{X z,Y z}
1 P{X z} P{Y z}
1 [1 P{X z}][1 P{Y z}]
1 [1 FX (z)][1 FY (z)]. 故有
f ( x, z x)dx
x+y=z 由对称性可得
G
0
fZ (z)
f (z y, y)dy
x
特别,当X与Y相互独立时有
fZ
(z)
f
X
(
x)
fY
(z
x)dx
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
(
y)dy
这两个公式称为卷积公式,记作fX * fY ,即
fX * fY fX ( x) fY (z x)dx fX (z y) fY ( y)dy
x)dx y2
),
0 y 1
52
2
0
1
x
注意取值范围
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x),
f (x, y)
0,
0 x 1, 0 y x 其它 注意积分限
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
y
解: (2)
fX (x)
y=x
x 24 y(2 x)dy 05
12 x2 (2 x), 0 x 1
例1 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律如下表所示。
Y X
-1
1
2
-1
0.25
0.1
0.3
2
0.15
0.15
0.05
试求Z1=X+Y；Z2=XY；Z3=max{X, Y}的分布律。
解 先列出如下表格
(X, Y) (-1, -1) (-1, 1) (-1, 2) (2, -1) (2, 1) (2, 2)
例4 设X，Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1) 的随机变量。求Z=X+Y的概率密度。
解 由于
fX (x)
fY ( y)
1
x2
e 2 , x
2
1
y2
e 2 , y
2
因 此,由 卷 积 公 式 有
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x)dx
1
2
x2
( z x )2
由
f
X
(
x)
αeαx 0,
,
x x
0, 0,
FX
(
x)
1 0,
eαx
,
x x
0, 0,
由
fY
( y)
βe βy , y 0,
0, y 0;
FY (
y)
1 0,
βe βy ,
y y
0, 0.
Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
1 e(α β)z , z 0,
P{Z zk } P{X Y zk }
P{X xi ,Y y j }
ij
pij k 1,2,
ij
（求和是对一切使xi+yj=zk的i、 j 来作） 特别，若X与Y相互独立, 则
P{Z zk }
P{ X xi } P{Y y j }
pi p j
ij
ij
类似地，可讨论其它情形。
1 4a
2
(2a
z);
当-2a<z<0时，f Z
(z)
za
a
1 2a
1 2a
dx
1 4a2
(z
2a).
2a 4a 2
z
,
f
Z
(z)
2a 4a 2
z
,
0 ,
2a z 0, 0 z 2a,
z 2a.
所得到的分布称做辛卜生(Simpson)分布或称做三角
分布，其概率密度曲线如图。
为了解决类似的问题下面 我们讨论多维随机变量函数的分布.
一、二维离散型随机变量的函数的分布
设(X，Y)是二维离散型随机变量，则
Z=X+Y的分布也是一 个随机变量。下面讨论 其分布。
设(X，Y)的联合分布律为 P{X=xi，Y=yj }=pij，i， j = 1，2，…
则Z=X+Y的可能取值zk=xi+yj (k=1，2，…)，因此Z 也是离散型随机变量, 其分布律为
复习
随机变量函数的分布
回 停
下
例1 设(X,Y)的概率密度是
f
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f ( x, y)dxdy
1x
0 [0 cy(2 x)dy]dx
由
f ( x, y)dxdy 1 确定C
Fmax ( z) FX ( z)FY ( z), Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)].
推广
设 X1, X2, , Xn 是 n 个相互独立的随机变 量,它们的分布函数分别为 FXi ( xi ) ( i 1,2, ,n)
则M max(X1, X2, , Xn )及N min(X1, X2, , Xn ) 的分布函数分别为
例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1, L2 联接而成,连接的方式分别为(i)串联, (ii) 并联,
(iii) 备用(当系统 L1 损坏时, 系统 L2 开始工作), 如图所示.
XY L1 L2
L1 X L2 Y
L1 X Y L2
设 L1, L2 的寿命分别为X , Y ,已知它们的概率密 度分别为
FZ (z) P{Z z} f ( x, y)dxdy x yz
这里积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z的左下方半平 面。如下图
有
zx
FZ (z)
[
f ( x, y)dy]dx
作变量代换 y=u-x 得
z
FZ (z)
[
f ( x, u x)du]dx
Why?
y
由 此 可 得f Z (z)
x
y
fY ( y) 0 2dx 2 y,
由于存在面积不为0的区域，
0<x<1 0<y<1