二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无 限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) , X 的取值为 x1， x2， ， xi， Y 的取值为 y1， y2， ， y j， i , j 1, 2,,
X (e )
e

Y (e )
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注意事项
(1) 向量 (X, Y)是一个整体, 其性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
(2) 向量 (X, Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点.
2.实例
实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿 童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变 量 ( H, W ).
(2)分布函数的几何意义
F ( x , y ) 的函数值就是 随机点落在如图所示 区域内的概率.
y
( x, y)
X x ,Y y
o
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x
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(3) 分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
Y X 1 2 3 4 1.5 0.1 0 0.05 0.15 2.5 0.05 0.15 0.05 0 3.5 0.1 0.2 0.05 0.1
求P{| X Y | 0.5}.
解 满足 | X Y | 0.5的( X ,Y )取值为
(1,1.5);(2,1.5);(2, 2.5);(3, 2.5);(3,3.5);(4,3.5);
4o 对于任意 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
证
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0,
y
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y , F ( , y ) x
对于任意固定的x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
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3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
F ( x, y)
x i x， y j y

pij
一般不好写出！
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1 2 解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
1 2 1 P{ X 1,Y 2} , 3 2 3 2 1 1 P{ X 2,Y 1} , 3 2 3 2 1 1 P{ X 2,Y 2} . 3 2 3 p11 0,
综合之所求分布律为
X
Y
0
1
3 14
2
1 28
0
1 2
3 28
9 28
3 14
0
0
0
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3 28
4. 二维离散型随机变量的联合分布函数
设( X ,Y )二维离散型随机变量 , 其( 联合)分布律为
pij P X xi， Y y j i，j 1， 2，
则( X ,Y )的联合分布函数为
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13 13
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1 p12 p21 p22 , 3
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时,
y
( 2, 2 )
( 2,1)
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } 2(1,2)
0;
(2)当1 x 2,1 y 2时,
F ( x , y ) p11 0;
记
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,,
称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
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二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律也可表示为
Y
X
y1
y2
yj
x1 x2 xi
p11
p12
u x v y
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变 量, 函数 f ( x , y )称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
解 ( X, Y ) 所取的可能值是 ( 0,0), ( 0,1), (1,0 ), (1,1), ( 0,2), ( 2,0).
0 0 2 C3 C2 C3 3 P{ X 0,Y 0} , C 82 28
抽取两支都是绿笔
抽取一支绿笔,一支红笔
0 1 1 C3 C 2C 3 3 P{ X 0,Y 1} , 2 14 C8
对于任意固定的 x ,当y2 y1时F ( x , y2 ) F ( x , y1 ).
2o 0 F ( x, y ) 1,
y
且有
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0, F ( ,) x lim F ( x , y ) 1 .
F x2， y2 F x2， y1 F x1， y2 F x1， y1
y y2
(x1 , y2) (X, Y ) (x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
y1 o
x1
x2
x
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4. n 维随机变量 (1) 定义 设 E 是一个随机试验， {e}是其样本空间，
§3.1 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布
一、二维随机变量及其分布函数
1. 定义
若 E 是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e}，
设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 Ω 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量， 或二维随机变量。 图示
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
可以证明 某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。
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(4) 一个重要的公式
设：x1 x2，y1 y2，
则 Px1 X x2， y1 X y2
p1 j
p21

p22

p2 j
Hale Waihona Puke pi1pi 2

pij
3. 联合分布律的性质
(1). pij P X xi， Y y j 0;

(2). pij 1.
i 1 j 1
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例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地取 值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一整数值 . 试求 ( X ,Y ) 的分布律. 解 { X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
i 1,2,3,4,
j i.
Y X
1
2
3
4
1 2
1 4
1 8
1 12 1 16
0
1 8
1 12
0
0
0
0
0
3
4
1 12
1 16
1 16
1 16
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例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔 的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示抽出 的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.
X i X i e
e i 1， 2，
， X n e
， n
是该样本空间上的 n个随机变量．
则称 X 1， X 2， ， X n
X1 e， X 2 e，
e
或 n 维随机向量． 为样本空间上的 n 维随机变量． (2) n维随机变量的联合分布函数 设 X1， X 2， ， X n 是一个n维随机变量，则对于任 意一 n 维实数组 x1， x2， ， xn ， F x1， x2， ， xn PX 1 x1， X 2 x2， ， X n xn 我们称此函数为 n维随机变量 X 1， X 2， ， X n 上页 下页 返回 为联合分布函数.
1 1 0 3 C3 C 2C 3 P{ X 1,Y 1} , 2 14 C8
抽取一支蓝笔,一支红笔
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0 2 0 1 C3 C2 C3 P{ X 0,Y 2} , 2 28 C8 1 0 1 9 C3 C2 C3 P{ X 1,Y 0} , 2 28 C8 2 0 0 C C3 3 P{ X 2,Y 0} 3 C 2 , 2 28 C8
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