2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试（一模）数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x x =<<，{}03B y y =<<，则A B =（）A ．∅B ．{}13x x <<C ．{}05x x <<D ．{}05x x <<答案：B利用交集的定义可求得集合A B .解：{}15A x x =<<，{}03B y y =<<，因此，{}13A B x x ⋂=<<.故选：B.2．已知z 为复数，若()1i i z ⋅+=(i 是虚数单位)，则z =A ．1BC ．12D ．2答案：D先根据复数除法求出复数z ，结合复数模长的求解方法可得模长.解：因为(1)z i i +=，所以i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+====++-+，所以||2z ==，故选D.点评：本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为z a bi =+形式，结合模长公式z =.3．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 解：因为4228S S =+， 所以()()14124282a a a a +=++，所以()()11112328a a d a a d ++=+++， 即48d =， 解得2d =， 故选：B.4．若实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则2x y -的最小值为（）A ．.1B ．1-C ．3D ．3-答案：D根据实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，画出可行域，记目标函数2z x y =-，平移直线122zy x =-，当直线在y 轴上的截距最大时z 有最小值求解. 解：实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩的可行域如图所示：记目标函数2z x y =-，平移直线122zy x =-，当直线经过点(3,3)A 时在y 轴上的截距最大，此时对应的z 具有最小值， 最小值为3233z =-⋅=-， 故选：D.5．已知0a >，0b >则“1a b +=”是“2212a b +≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件答案：A分别判断命题的充分性和必要性即可得到答案.解：因为1a b +=，则222222111(1)2212222a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 满足充分性； 若2212a b +≥，取2,1a b ==，则得不到1a b +=，不满足必要性. 故选：A6．函数2()()()x a f x a b x b-=<-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：A将原函数的解析式变形为22()()()()2()x a b a f x x b b a x b x b--==-++---，然后根据对勾函数的图象性质即可判断出答案.解：原函数解析式可化为：222()[()]()()()2()x a x b b a b a f x x b b a x b x b x b--+--===-++----其图象可看作是将对勾函数()()2b a g x x x-=+右移b 个单位，上移()2b a -个单位而得到，故A选项符合. 故选：A.点评：本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，较简单，将原函数解析式合理变形是关键. 7．若随机变量X 的分布列是：Xa 1P2a 1212a- 则当实数a 在(0,1)内增大时，（） A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大答案：D先计算随机变量X 的数学期望，然后利用计算出方差()D X 的表达式，分析()D X 在()0,1a ∈上的单调性. 解：∵111()012222a a E X a -=⋅+⋅+⋅= ∴22211111()01222222a a D X a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22214a a -+=由二次函数的性质可知，()D X 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递增.故选：D.点评：本题考查随机变量的分布列及数学期望、方差的计算，准确运用公式是关键.数学期望1()n i i i E X x p ==∑；方差()21()ni i i D X x E X p ==-⎡⎤⎣⎦∑.8．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线21x y =+上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（）A ．|tan tan |αβ⋅B ．|tan tan |αβ+C ．|tan tan |αβ-D ．tan tan αβ答案：C设点M 在第一象限，即(,)(1,0)M x y x y >>，由曲线方程及三角函数的定义表示出各项，即可得解.解：由题，不妨设点M 在第一象限，即(,)(1,0)M x y x y >>，则221x y -=，则tan ,tan 11y y x x αβ==-+-， 所以22|tan tan |11y x αβ⋅==-；222|tan tan |111y y y x x x yαβ+=-==+--； 222221|tan tan |22111y y xy y x x x x y y αβ+-=+==⋅=>+--，且22|tan tan |x y yαβ-=⋅>； tan 1211tan 11x x x αβ-==-<++. 故选：C.点评：解决本题的关键是设出点(,)(1,0)M x y x y >>，结合三角函数的定义逐项表示出各选项，即可得解.9．如图，在正四面体ABCD 中，,,2BE EC CF FD DG GA ===，记平面EFG 与平面BCD ､平面ACD ､平面ABD ，所成的锐二面角分别为α､β､γ，则（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>答案：A过A 作AO ⊥平面BCD ，取BD 的中点M ，连接CM ，交CM 于点O ，以O 为原点，OC 为x 轴，ON 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标向量法先求cos ,cos ,cos αβγ，再根据余弦函数单调性比较大小即可. 解：解：(空间向量法)因为,,2BE EC CF FD DG GA ===，所以E ､F 分别为BC ､CD 的中点，G 为AD 上靠近A 的三等分点，取BD 的中点M ，连接CM ，过A 作AO ⊥平面BCD ，交CM 于点O ，在平面BCD 中过O 作//ON BD ，交CD 于N ，设正四面体ABCD的棱长为2，则3OM =，233CO =，2222232623OA AC OC ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 以O 为原点，OC 为x 轴，ON 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，26A ⎛ ⎝⎭，31,0B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，23C ⎫⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,02E ⎫-⎪⎝⎭，31,062F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3146,939G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1,0)EF =，53546,8691EG ⎛=- ⎝⎭，232633AC ⎛=- ⎝⎭，32633AD ⎛=-- ⎝⎭，3261,33AB ⎛=--- ⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为()1,,n x y z =，则110n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0501869y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，则18,0,125n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 同理可计算出平面BCD ､平面ACD ､平面ABD 的一个法向量分别为2(0,0,1)n =，()32,n =，4(22,0,1)n =-，则可得1212517co 1s 5n n n n α⋅==⋅，1313717co 1s 5n n n n β⋅==⋅，14149cos 1751n n n n γ⋅==⋅，所以cos cos cos αβγ<<，又cos y x =在()0.x π∈上递减，所以αβγ>>， 故选：A.10．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：B 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210m y my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y =，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解.解：椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A BM ，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B.点评：思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则弦长为AB ===为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．二、双空题11．设lg 2a =，lg5b =，则10a =____________；22a b ⋅=___________； 答案：22由指数与对数的互化，由lg 2a =可得10a 的值，由lg2lg52222a b a b ++⋅==，根据对数与指数的运算可得答案.解：由lg 2a =，可得102a =lg2lg5lg10222222a b a b ++⋅====，故答案为：2，2； 12．已知()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若240a =-，则n =________，12n a a a ++⋅⋅⋅+=________.答案：52根据二项式定理可得展开式通项，由此可得方程()1240rn r rn C --=-，代入验证可求得5n =；采用赋值法即可求得各项系数和与0a ，作差得到12n a a a ++⋅⋅⋅+的值. 解：()()()12112n rrrrn r r n rr n n T C x C x ---+=-=-，由240a =-可知：()1240rn r rn C --=-，当1r =时，()112240rn r r n n C n n ---=-⋅=-⇒无整数解， 当3r =时，()33122405r n r r n n n C C n ---=-⋅=-⇒=，()525012521x a a x a x a x ∴-=++++，当1x =时，()50125211a a a a -=+++⋅⋅⋅+=， 当0x =时，()500011a a -=⇒=-，()125112a a a ∴+++=--=.故答案为：5；2.点评：方法点睛：二项式定理中与各项系数和有关的问题常采用赋值法来进行求解，形如()2012nn n a a x a x x kx a b +++⋅⋅++⋅=的式子：（1）令1x =，可求得各项系数和； （2）令0x =，可求得常数项；（3）分别令1x =和1x =-，作差或作和可分别求得奇次项系数和与偶此项系数和.13．某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积是(单位：2cm )_________，体积是(单位：3cm )__________；答案：625++32由三视图还原直观图，根据棱柱表面积和体积公式计算可得结果. 解：由三视图还原直观图如下：111111111ABCAA B BBB C CCC A AA B C S SSSSS=++++表面积11312151313162522=⨯⨯+++⨯+⨯⨯=+； 1331122V =⨯⨯⨯=. 故答案为：625+32. 14．如图所示，在直行道路上当绿灯亮起时，①号汽车立刻启动通过停止线，随后每辆汽车都比前一辆汽车延时1s 后启动，每辆汽车启动后先做加速度为22m/s 的匀加速直线运动，当速度达到10m/s 之后就做匀速直线运动，已知此处绿灯的时间为15s ，每辆汽车的车长均为5m ，相邻两辆汽车之间的间距均为2m ，则图中的⑥号车________(填“能”或“不能”)在一次绿灯的时间内通过停止线(只要汽车的车头通过停止线就算通过)，在一次绿灯的时间内可以有___________辆汽车通过停止线.(注：物体从静止开始做匀速直线运动时，路程s 与时间t 的关系是：212s a t =，其中a 为加速度)答案：能8先求出⑥号车距离停止线的距离，⑥号车第6秒启动，求出⑥号车在10秒内运动的路程，即可判断；设可以通过n 辆，则第n 辆车延时1n -秒，第n 秒启动，所以211422510(15(1)5)7(1)8217S n n n n =⨯⨯+⨯---≥-⇒≤⇒≤，即可得出结果. 解：⑥号车距离停止线为(52)535+⨯=米，⑥号车延时5秒，第6秒启动，又1025at t t ==⇒=， 所以从0m/s 到10m/s 共需5秒， 所以⑥号车在10秒内运动的路程为212510575352S =⨯⨯+⨯=>， 故⑥号车能通过； 设可以通过n 辆，则第n 辆车延时1n -秒，第n 秒启动，显然1510155n n n <⎧⇒<⎨->⎩， 所以211422510(15(1)5)7(1)8217S n n n n =⨯⨯+⨯---≥-⇒≤⇒≤， 故可以通过8辆， 故答案为：能；8. 三、填空题15．一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种. 答案：30从反面考虑，总数为47C ,不含有编号为3的总数为45C ,即得解. 解：从反面考虑，总数为47C ,不含有编号为3的总数为45C , 所以含有编号为3的总数为447530C C -=. 故答案为：30. 点评：方法点睛：1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题→编程→列式→计算.2、编程的一般方法一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步乘法). 16．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[0,2]针对a 的取值情况进行分类讨论，去绝对值，转化为最值问题处理. 解：若1a ≤-，则()||2f x x a x x a =-+=-，所以22022a a a -≤⎧⇒=⎨--≥-⎩，所以无解；若1a ≥，则()||f x x a x a =-+=，所以12a ≤≤；若11a -<<，则,[1,]()2,(,1]a x a f x x a x x a x a ∈-⎧=-+=⎨-∈⎩，所以01a ≤<； 综上所述，02a ≤≤. 故答案为：[0,2].点评：本题考查绝对值不等式的应用，考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，难度一般. 17．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.答案：3设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到CD ==，再由2OA OB AB -≤=，得到2||2OA OB OD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+求解.解：设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==， 所以||2,||2||AB OA OB ==， 取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=， 解得228CB CA +=，所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭， 所以点C 是以D 3 又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪， ()2110432OB ==-≤，所以||||||||33c OC OD DC OD =≤+≤+≤+.点评：关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是CB CD ⎛= ，由||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||OA OD ⎛= 2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.四、解答题18．已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =⋅-+. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若2()3f α=，其中0,8πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求8f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.答案：（1）单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）16+.（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2844f πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式计算可得；解：解：（1）因为21()sin cos sin 2f x x x x =⋅-+所以11cos21()sin 2222224x f x x x π-⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭. 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，得函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）若2()3f α=，则sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭0,8πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.22sin 2cos 28222f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122cos 2cos 2cos sin 2sin 244244446ππππππααα⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 点评：(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．19．如图，已知三棱锥P ABC -中，2,22AB AC PA PB BC =====，D 为BC 的中点.（1）求证：PD AB ⊥； （2）若2PD =PD 与平面PAC 所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）33. （1）取AB 的中点E ，连接,PE ED ，利用已知条件得到ED AB ⊥，PE AB ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AB ⊥平面PED ，即可得证；（2）取AC 的中点F ，连接PF ，过D 作DH PF ⊥于H ；先利用已知条件以及线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面PFD ，进而得到AC DH ⊥，再利用线面垂直的判定定理得到DH ⊥平面PAC ，所以DPH ∠就是PD 与平面PAC 所成角，利用已知条件求解即可.解：（1）取AB 的中点E ，连接,PE ED .∵2,22AB AC BC ===， ∴AB AC ⊥，∵D，E 分别是,BC AB 的中点， ∴//ED AB ，∴ED AB ⊥， ∵PA PB =，∴PE AB ⊥， ∵EBED E =，∴AB ⊥平面PED ， ∴PD AB ⊥.（2）取AC 的中点F ，连接PF ， 过D 作DH PF ⊥于H.∵22BC =2BD =，∵2,2PB PD ==，∴PD BC ⊥，∴2PC =.∵D，F 分别是,BC AC 的中点， ∴//FD AB ，∴FD AC ⊥， ∵2AP AC PC ===，∴PF AC ⊥， ∵PF FD F ⋂=，∴AC ⊥平面PFD ，∴AC DH ⊥， ∵PF AC F ⋂=， ∴DH ⊥平面PAC ，∴DPH ∠就是PD 与平面PAC 所成角，∵1,DF PD PF ===∴sin 3DF DPH PF ∠===， ∴PD 与平面PAC所成角的正弦值为3. 点评：方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 20．已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：2n n S a <.答案：（1）1(1)2n n a n -=+⋅；（2）证明见解析.（1）将1(1)2(2)n n n a n a ++=+化为12(2)(1)n n a n a n ++=+，然后利用累乘法求通项公式； （2）利用错位相减法求和.解：解：（1）因为1(1)2(2)n n n a n a ++=+，所以12(2)(1)n n a n a n ++=+，则 1123411123134512(1)2(2)234n n n n n a a a a n a a a n n a a a a n ---+⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅≥ ⎪⎝⎭当1n =时，12a =满足上式，所以1(1)2n n a n -=+⋅.（2）0121223242(1)2n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅①123122232422(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅②①-②得:123122222(1)2n n n S n --=+++++-+⋅化简得：()12122(1)2212---=+-+⋅=-⋅-n nn n S n n所以2nn S n =⋅，又2(1)2220n n nn n a S n n -=+⋅-⋅=>， 所以2nn S a <.点评：本题考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减法求和，难度一般.（1）当数列{}n a 满足()1n na f n a +=时，可采用累乘法求通项公式； （2）当数列n n n c ab =⋅，其中{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和. 21．如图所示，F 是抛物线2:4C y x =的焦点，A 是抛物线C 上的动点，过点A 的切线l 交x 轴于G 点.以F 为圆心的圆与直线l 及直线AM 分别相切于B ､M 两点，且直线AM 与x 轴的正半轴交于H 点.（1）求证：||||AF GF =； （2）求||FH 的最小值. 答案：（1）证明见解析；（2）169. （1）设()2,2A t t ，求出切线方程以及()2,0G t -，再利用抛物线的定义即可求解. （2）不妨设AGH θ∠=，可得1tan tθ=，在AFH 中，根据正弦定理得()222221sin 1sin 334sin 31t AF t FH t θθθ++===--，再利用基本不等式即可求解.解：（1）设()2,2A t t ，则切线()2:22l ty x t=+即20x ty t-+=；∴()2,0G t -，∴2||1GF t =+，∵2||11A AF x t =+=+，∴||||AF GF =；（2）不妨设AGH θ∠=，则1tan tθ=，在AFH 中，由正弦定理得 ()()22222221sin cos sin 1sin334sin 3cos sin t AF t FH θθθθθθθ+++===-- ()()()2222221tan 113tan 31t t t θθ+++==--∴3AHx θπ∠=<，∴3πθ<，∴tan θ<，∴2310t ->∴()()()()()222222223141311681631999931931t t t t t t ⎤⎛⎫-++-⎦ ⎪==++≥ ⎪---⎝⎭当且仅当()2314t -=时即253t =时min 16||9FH =.点评：关键点点睛：要证明||||AF GF =，关键求出点G 的坐标，即求出切线方程；求||FH 的最小值，设AGH θ∠=，1tan t θ=，关键求出()222131FH t t +=-，属于难题.22．已知函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）求实数a 的取值范围； （2）求证： （i ）1x <；（ii）212x x ->. 答案：（1）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. （1）函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点，等价于ln xa x=在(0,)+∞上有两个不同的实根，记ln ()x g x x=，对函数求导判断单调性，可得实数a 的取值范围； （2）（i ）将()1212,x x x x <代入方程并参变分离，利用分析法可知，需证明111ln 20x x x e -+>，构造()ln 2,(1,)h x x x x e x e =-+∈，求导判断单调性与最值即可证明不等式成立；（ii ）设()()()21ln 11x x x x x ϕ-=->+，对函数求导判断单调性可得：()()21ln 011x x x x ->>>+，由1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式作差可得2121ln x x a x x =-，利用证得的不等式进行放缩，可得不等式成立． 解：（1）函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，变量分离得ln x a x=在(0,)+∞上有两个不同的实根，记ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'= 当(0,)x e ∈时，()0,()'>g x g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0,()g x g x '<单调递减.且0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x → 故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）（i ）因为12,x x 是ln x ax =的两根，由（1）可知121x e x <<<，且1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩(只涉及变量1x ，故只用11ln x ax =)，所以11ln x a x =要证21111111120ln 20x ax ax x e x x x e <⇔->⇔-+>⇔-+> 构造函数()ln 2,(1,)h x x x x e x e =-+∈，则()ln 10h x x '=-<，()h x 在()1,e 上递减 所以()()0>=h x h e ，原不等式成立.（ii ）解析1：放缩设()()()21ln 11x x x x x ϕ-=->+，则()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=>++恒成立， ()x ϕ∴在()1,+∞单调递增，()()10x ϕϕ>=，即()()21ln 011x x x x ->>>+由1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，可得221211221212112121lnln ln 121x x x x x x a x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==>⋅=---++，从而212x x a >-，则21112x x x a ->->，要证明：212x x ->，只需证a>11ae a ⇔>⇔<，证毕! 解析2：对数平均不等式 由对数平均不等式2112211ln ln 2x x x x a x x -+=<-，所以122x x a +>，由（i）可知11x a -<， 所以212x x a >->，从而21x x -=，即212x x -=，只需证：> 下同解法1.点评：方法点睛：本题考查导数研究函数的单调性与零点问题，考查导数证明不等式，设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则：1.若()0f x '>，则()y f x =在[],a b 上单调递增；2.若()0f x '<，则()y f x =在[],a b 上单调递减．。