幂等矩阵
1、如果A 是幂等阵，
证明：A ，),2,1( =k A T 和A E -都是幂等阵。

证：A E A A E A E -=+-=-222)(。

证毕
2、设A 是幂等阵，问：A -是否幂等矩阵？
答：当0≠A ，A A A A -≠==-22)(。

3、问：幂等矩阵是否是对称阵？
答：一般不是。

设T
ab A =，满足1=T ba ，其中⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a a a 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，
发现A 是幂等矩阵；
而⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2
1
2221
21211
1一般不是对称阵。

4、证明：A 和B 是幂等矩阵当且仅当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=B A Z 00是幂等矩阵。

证：⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=2220
0B A Z 。

A 和B 是幂等矩阵当且仅当A A =2且B B =2
当且仅当Z Z =2
当且仅当Z 是幂等矩阵。

证毕
5、以下命题成立吗？
方阵A 是幂等矩阵当且仅当其特征值为0或1。

答：方阵A 是幂等矩阵，则其特征值为0或1。

反之一般不成立。

例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000110111A ，但A A ≠⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0001102212。

6、设A 是特征值为0或1的方阵， 证明：A 幂等矩阵当且仅当A 可对角化。

证：
必要性。

因为A 与若当形矩阵J 相似，所以J AT T
=-1
，且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=01
00J J
J ， 其中r r J ⨯⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111 ，()()
r n r n J -⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01100 。

发现J J
=2
，即J 是幂等矩阵。

于是i J 是幂等矩阵，1,0=i ，进而i J 是对角矩阵，1,0=i 。

所以J 是对角矩阵。

即A 可对角化。

充分性。

因为A 可对角化，所以D AT T =-1
，其中D 是主对角元是0或1的对角矩阵。

有D D =2
，
所以A TDT TDT
TDT TDT A ====----11
1
2
12
)(。

证毕
7、问：n 阶幂等矩阵按相似关系来分类，可以分成几类？
答：记r 是幂等矩阵特征值1的个数，n r ≤≤0，所以有1+n 类。

8、设A 是n 阶幂等矩阵，
证明：)()(A tr A r =。

证：根据第6题知，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=-0001r E AT T ，于是)()(A tr r A r ==。

证毕 9、证明：A 是幂等矩阵当且仅当n A E r A r =-+)()(。

证：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+++E A A E A A A E A A A A E A A A E A
A A 0000002)(212)(211212 得n A A r A E r A r +-=-+)()()(2。

所以A 是幂等矩阵当且仅当A A =2
当且仅当02
=-A A
当且仅当0)(2=-A A r 当且仅当n A E r A r =-+)()(。

证毕。