幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。

关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文:（一）定义及说明定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。

定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。

因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。

所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。

对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=证明：已知n σσ=（1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈反之，1()n ασα-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=⇒1()n ασα--∈()Ker σ因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ从而()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（）11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈反之，{}11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）：由（1），,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σV ∴⊆()Ker σ+Im()σ从而V =()Ker σ+Im()σ又设β∀∈()Ker σIm()σ由β∈()Ker σ()0σβ⇒=又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσβσσβσ---⇒====即()Ker σIm()σ={}0∴()Im()V Ker σσ=⊕（3）：""⇒假设()Ker σ，Im()σ都在τ之下不变V α∀∈，由（2），存在唯一的β∈()Ker σ，唯一的γ∈Im()σ，使得αβγ=+ 则由假设，()τβ∈()Ker σ，()τγ∈Im()σ122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===，11()(())()n n στγστγτγ--==（由（1）） 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===，1()n σγγ-=（由（1））1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=11()()n n στατσα--∴=由α的任意性，11n n σττσ--=""⇐若11n n σττσ--=，α∀∈()Ker σ即()0σα=，且由（1），V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ即()Ker σ在τ之下保持不变Im()ασ∀∈，由（1），1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==即1(())()n στατα-=由（1），Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。

（三）幂等变换的几个等价表示定理3.设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，则下列命题等价：（1）2σσ=（2）σ的特征值只能是1和0，且10V V V =⊕,其中1V 和0V 分别是σ的属于1和0的特征子空间（3）Im()Im()V σεσ=⊕-证明："(1)(2)"⇒设2σσ=，λ是σ的特征值，则有()σξλξ=（ξ为σ的属于特征值λ的特征向量）由2σσ=知，22()()(())()(())σξσξσσξσλξλσξλξ===== 22()0λξλξλλξ∴=⇒-= ξ为非零向量2()010λλλλ∴-=⇒==或又{}1|()Im()V ξσξξσ==={}0|()0()V Ker ξσξσ===由定理1，Im()()V Ker σσ=⊕即10V V V =⊕"(2)(1)"⇒如果σ的特征值只能是1和0，且10V V V =⊕V α∀∈,有1120Im(),()V V Ker ασασ∃∈=∈=唯一的唯一的12ααα=+使得有112(),()0σαασα==1212()()(())(())σεσασεαασσαα∴-=+-+1212()(()())σαασσασα=+-+121(()())(0)σασασα=+-+=111111(0)(0)()0ασαασααα=+-+=-=-=由α的任意性，得()0σεσ-=，即2σσ="(1)(3)"⇒设2σσ=由(2)，10V V V =⊕,()(())V αασαασα∀∈=+-有()Im(),()Im()σασασαεσ∈-∈-∴有Im()Im()V σεσ=+-设β∀∈Im()Im()σεσ-，则12,V ββ∃∈使得12()()()βσβεσβ==-从而2211222()()(),()()()()()0()0σβσβσββσβσεσβσσββ====-=-==0,β⇒=即Im()Im()σεσ-{}0⊆又0(0)()(0)σεσ==-∴{}0⊆Im()Im()σεσ- 因此Im()Im()σεσ-={}0从而Im()Im()V σεσ=⊕-"(3)(1)"⇒如果Im()Im()V σεσ=⊕-，则Im()Im()σεσ-={}0,()()[()()]Im()V ασεσασεσασ∀∈-=-∈有()()()[()]Im()εσσαεσσαεσ-=-∈-2()()()()()()σεσασσαεσσα-=-=-()()σεσα∴-∈Im()Im()σεσ-={}0从而()()0σεσα-=由α的任意性，2()0σεσσσ-=-=即2σσ=（四）幂等矩阵的一些性质性质1.设A 是n 级幂等矩阵，则对(0,1),a a A aE ∀≠+是可逆矩阵证明：由2A A = ()[(1)]A aE A a E ⇒+-+2(1)A A a a E =--+(1)a a E =-+101(){[(1)]}(1)a a A aE A a E E a a ∴≠≠-+-+=-+当且时， 因此A aE +可逆，且其逆矩阵为1[(1)](1)A a E a a -+-+性质2.设A 为幂等矩阵，则A 可以对角化证明：由20A A -=知2()g λλλ=-是A 的化零多项式又A 的特征值只能是1和0 ∴A 的最小多项式为2()1g x x x x x =--或或且这三种情形下()g λ均无重根故A 可对角化性质3.设A 是幂等矩阵，则A 的秩等于A 的迹证明：因为A 的特征值只能是1和0，设A 的秩为r ，则A 与000rI ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似设12,,n λλλ为A 的全部特征值，则12n trA λλλ=+++相似矩阵有相同的特征值，而000rI ⎛⎫ ⎪⎝⎭的全部特征值为r 个1 ∴12n trA r λλλ=+++=即A 的秩等于A 的迹性质4.设A 是秩为r 的幂等矩阵则A CB =，其中,r BC E C =是秩为r 的n r ⨯矩阵 证明: A 与000rI ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，即存在可逆矩阵P 使得 ()11100000000r rr r I I I P AP A P P P I P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()10,0r r I B I P C P -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则秩（C ）=r 且()()10000r r r r r I I BC I P P I E -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭性质5.可逆幂等矩阵为单位矩阵证明：A 为幂等矩阵，2,A A AA A ==即又A 可逆，两边同时左（右）乘1A -,得 1A A A E -==即A 为单位矩阵由于幂等矩阵的性质是限制在n 维条件下讨论的，所以对应幂等变换的性质也只是在有限维情况下成立，至于这些性质能否推广到无限维的情形，本文未予讨论。

参考文献：[1]陈尔明.幂等变换的一个性质的推广[J]. 牡丹江师范学院学报(自然科学版),2003.3[2]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.9.[3]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].张玉芬，李桂荣，高玉玲.北京:高等教育出版社,2004.2.[4]张树青 ,王晓静.线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示[J].烟台师范学院学报(自然科学版) ,2004 .20(1).[5]钟太勇,袁力,彭先萌.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨[J]. 郧阳师范高等专科学校学报,2005年6月第25卷第3期.[6]宿维军. 幂等矩阵和幂等变换[J].重庆文理学院学报，2008.4。