0，π2
二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，
n2，则|cos
θ|＝
|cos〈n1，n2〉|
＝
|n1·n2| |n1||n2|
[0，π]
知识点二 利用空间向量求距离(※) 点到平面的距离：用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下： 先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面 的 法 向 量 上 的 射 影 长 . 如 图 ， 设 n ＝ (a ， b ， c) 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量 ， P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到 平面 α 的距离 d＝|P→P|n0|·n|＝|ax0－x＋ab2＋y0－b2＋y＋c2 cz0－z|.
证明
②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角 的正弦值.
解答
类型二 求二面角问题 例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点， 求二面角A－A1D－B的余弦值.
解答
反思与感悟 求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量 法求解.
2.向量法求距离(※) (1)求 P，Q 两点间的距离，可转化为求P→Q的模. (2)点到平面距离的求法：设 n 是平面 α 的法向量，B 是平面 α 外一点，A 是平面 α 内一点，AB 是平面 α 的一条斜线，则点 B 到平面 α 的距离为
→ d＝|A|Bn·|n|.
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解.
4 2×2
2＝12，
且〈P→B，D→B〉∈[0，π]，∴〈P→B，D→B〉＝π3， ∴BD 与平面 ADMN 所成的角为π6.
解答
反思与感悟 用向量法解决线线角、线面角问题时，首先需建立适当 的坐标系，然后求解相应的向量表达式，再借助于空间向量的运算进 行求解.
跟踪训练1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中 点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为
＝－12，则 l 与 α 所成的角为
√A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析 设l与α所成的角为θ， 则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12.∴θ＝30°.
12345
解析 答案
2.已知二面角 α－l－β 的两个半平面 α 与 β 的法向量分别为 a，b，若〈a，b〉
＝π3，则二面角 α－l－β 的大小为
本课结束
角的分类
向量求法
范围
异面直线 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别 |a·b|
所成的角 为a，b，则cos θ＝ |cos〈a，b〉| ＝__|a_||_b_| _
0，π2
直线与平面 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平 |a·n|
所成的角 面α的法向量为n，则sin θ＝ |cos〈a，n〉|＝_|_a_||n_|_
跟踪训练 2 如图，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，BC＝ 2，PA＝AC＝1， 求二面角 A－PB－C 的余弦值.
解答
类型三 解决距离问题(※) 例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C， D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离.
解答
反思与感悟 用向量法计算距离问题时，借助于空间向量的运算，并结 合化归思想进行求解.
跟踪训练3 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，DG＝13DD1，过 E，F，G 的平面交 AA1 于点 H， 求D1A1到平面EFGH的距离.
解答
达标检测
1.已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 cos〈m，n〉
√A.
6 4
B.－
6 4
C.
10 4
D.－
10 4
12345
解析 答案
4.设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上， a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为
3 ___1_5____. 解析 设α，β所成二面角中较小的一个角为θ， 由题意得，cos θ＝|cos〈a，b〉|＝||aa|·|bb||＝1，1，1·3－·53，4，0＝153.
12345
解析 答案
5.已知等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 C－AB－
D 的余弦值为 33，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余 1
弦值为___6__.
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解析 答案
规律与方法
1.向量法求角 (1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得， 即cos θ＝|cos φ|. (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹 角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ. (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等 于两个法向量的夹角或其补角.
第三章 §3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题
学习目标
1.理解直线与平面所成角、二面角的概念. 2.掌握向量法解决空间角和距离问题. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应 的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
题型探究
类型一 求线线角、线面角 例1 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，
30 A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为___1_0____.
解析 答案
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝ 90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的 中点. ①求证：PB⊥DM；
√A.
10 10
B.
10 5
C.－Biblioteka 10 10D.－10 5
解析 答案
(2)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. ①证明：AB⊥A1C； 证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. ∵CA＝CB，∴OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形， ∴OA1⊥AB. ∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
π
2π
A.3
B. 3
√C.π3或23π
D.π6或π3
解析 由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向
量都有两个方向， 因此二面角 α－l－β 的大小为π3或23π，故选 C.
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解析 答案
3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则
AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为
证明
②求BD与平面ADMN所成的角. 解 ∵P→B·A→D＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，∴PB⊥AD.
又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.
即P→B为平面 ADMN 的一个法向量. 因此〈P→B，D→B〉的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角.
∵cos〈P→B，D→B〉＝|PP→→BB|·|DD→→BB|＝2
线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点 到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题.
[思考辨析 判断正误] (1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β 互余.( × ) (2)二面角的大小范围是0，π2.( × ) (3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( × ) (4)直线与平面所成角的范围是0，π2.( √ )