在 Rt△EBG 中，可得 BE＝
2，故
DF＝
2 2.
在
Rt△FDG
中，可得
FG＝
6 2.
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第八章 立体几何与空间向量
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，可得 EF＝32 2，从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG.
又 AC∩FG＝G，可得 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC.
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第八章 立体几何与空间向量
∴BA⊥平面A1ACC1， 又∵BA⊂平面ABC， ∴平面A1ACC1⊥平面ABC. 如图，过点A在平面A1ACC1内作Az⊥AC，垂足为A. ∵平面A1ACC1⊥平面ABC， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， ∴Az⊥平面ABC.
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第八章 立体几何与空间向量
由(1)知 AB⊥平面 BCD，BE⊂平面 BCD，BD⊂平面 BCD. ∴AB⊥BE，AB⊥BD. 以 B 为坐标原点，分别以B→E，B→D，B→A的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，得 B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0， 1)，M0，12，12，
第八章 立体几何与空间向量
以点 A 为坐标原点，A→B，A→C，A→z的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴 的正方向，建立空间直角坐标系，
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第八章 立体几何与空间向量
则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)， A1(0，1， 3)，C1(0，3， 3)，B1(2，1， 3)． 则A→D＝(1，1，0)，A→C1＝(0，3， 3)， 设平面 ADC1 的法向量为 m＝(x，y，1)，
F－1，0，
22，C(0，
3，0)，
所以A→E＝(1，
3，
2)，C→F＝－1，－
3，
2
2
.
故
cos〈A→E，C→F〉＝A|→A→EE·||C→C→FF| ＝－
3 3.
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
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第八章 立体几何与空间向量 【思维升华】 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择
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第八章 立体几何与空间向量
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第八章 立体几何与空间向量
方法二 ∵AB＝AC＝2，∠A1AC＝60°，则 AC1＝2 3， 又∵BC1＝4， ∴AB2＋AC21＝BC21，∴BA⊥AC1， 又∵BA⊥AC，AC∩AC1＝A，AC⊂平面 A1ACC1， AC1⊂平面 A1ACC1，∴BA⊥平面 A1ACC1， 又∵BA⊂平面 ABC， ∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.
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第八章 立体几何与空间向量
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二
面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角).
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第八章 立体几何与空间向量
第八章 立体几何与空间向量
A→D＝(1，0，2 2)．
∠C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角，
cos∠C1AD＝|AA→→CC11|·|AA→→DD|
＝（1，
3，2
2）×（1，0，2 12× 9
2）＝ 23，
π
π
又∵∠C1AD∈0， 2 ，∴∠C1AD＝ 6 .
π 【答案】 6
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第八章 立体几何与空间向量 【解析】 (1)证明 如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接
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第八章 立体几何与空间向量
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC＝2，可知 AE＝EC. 又 AE⊥EC，所以 EG＝ 3，且 EG⊥AC.
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第八章 立体几何与空间向量
如图，过点A1作A1O⊥AC，垂足为O，连接OD. ∵AC＝AA1，∠A1AC＝60°， ∴△A1AC为等边三角形， ∴O为AC的中点． 又∵D为BC的中点， ∴OD∥AB，∴OD⊥OC. 又∵平面A1ACC1⊥平面ABC， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， ∴A1O⊥平面ABC.
5 B. 3
5 D. 4
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第八章 立体几何与空间向量
【解析】 设 CA＝2，则 C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，
1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量A→B1＝(－2，2，1)，B→C1 ＝(0，2，－1)，由向量的夹角公式得
cos〈A→B1，B→C1〉＝
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第八章 立体几何与空间向量 跟踪训练1 如图所示正方体ABCDA′B′C′D′，已知点H在A′B′C
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第八章 立体几何与空间向量 【解析】 如图所示，以D为原点，DA为单位长度，建立空间直
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第八章 立体几何与空间向量
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第八章 立体几何与空间向量
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第八章 立体几何与空间向量
∴m＝
33，－
33，1.
又B→1C＝(－2，1，－ 3)．
∴|cos〈B→1C，m〉|＝|B|→B→11CC·||mm| |＝31010，
∴直线
B1C
与平面
ADC1
所成角的正弦值为3
10 10 .
第八章 立体几何与空间向量
题型一 求异面直线所成的角 【例1】 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E ，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥ 平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
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∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
故选 A. 【答案】 A
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第八章 立体几何与空间向量 3．(2018·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱AB
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第八章 立体几何与空间向量
5 A. 5
5 C. 6
4＋4＋0＋1×4－10＋4＋1＝
1＝ 5
55，故选
A. 【答案】 A
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第八章 立体几何与空间向量
4．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 为________．
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ED.
∵D，E分别为BC，A1C的中点，∴A1B∥ED， 又A1B⊄平面ADC1，ED⊂平面ADC1， ∴A1B∥平面ADC1.
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第八章 立体几何与空间向量
(2)方法一 ∵AB＝AC＝2，∠A1AC＝60°， 则 AC1＝2 3，又 BC1＝4， ∴AB2＋AC21＝BC21， ∴BA⊥AC1， 又∵BA⊥AC，AC∩AC1＝A，AC⊂平面 A1ACC1， AC1⊂平面 A1ACC1，
为BC的中点，∠BAC＝90°，∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝ 2.
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第八章 立体几何与空间向量 (1)求证：A1B∥平面ADC1； (2)当BC1＝4时，求直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值．
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第八章 立体几何与空间向量 【解析】 (1)证明 连接A1C，与AC1相交于点E，连接
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”) (1)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与
平面所成的角．( ) (2)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．
()
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第八章 立体几何与空间向量
(3)两异面直线夹角的范围是0，π2 ，直线与平面所成角的范
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第八章 立体几何与空间向量
(2)如图，以 G 为坐标原点，分别以G→B，G→C的方向为 x 轴， y 轴正方向，|G→B|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由(1) 可得 A(0，－ 3，0)，E(1，0， 2)，
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第八章 立体几何与空间向量
(1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
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第八章 立体几何与空间向量 【解析】 (1)证明 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩
平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD. (2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
第八章 立体几何与空间向量 量方法(二)——求空间角和距离
1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
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第八章 立体几何与空间向量
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第八章 立体几何与空间向量
3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈A→B，C→D〉．