2
有限元法基础
5. 等参元与数值积分
关键概念
等(超、次)参变换 等参变换的条件 数值积分 高斯积分
雅克比矩阵和行列式 等参元的收敛性 精确积分
减缩积分
矩阵的秩
零能模式
3
有限元法基础
5.1等参变换的概念
将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换
成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一
个坐标变换，即
y y y
z N i N i x x z N i N i J y y N i z N i z z
J 1 =
1 * J J
J 的伴随矩阵
15
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素
n Ni x xi i 1 n Ni y yi i 1 n Ni z zi i 1 n Ni x xi i 1 n Ni y yi i 1 n Ni z zi i 1 n Ni x xi i 1 n Ni y yi i 1 n Ni z zi i 1
11
有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元矩阵的变换 等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……
12
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
x Bi 0 y 0 Ni 0 y x N i x 0 0 Ni N i y 0 N i y N i x
L1 x L2 y f 或 f L3 z L 4
4
有限元法基础
5.1等参变换的概念
J 1 是否存在？ 存在的条件是
J ( x, y, z ) 0 ( , , )
这是两个坐标系间一对一变换的条件
24
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 以二维情况为例说明 1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反， J 顺序相同
J 0 0
，
2） dA d d d d sin(d , d ) d d sin
13
有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换 由复合函数求导规则有
Ni Ni x Ni y Ni z x y z
写成矩阵形式
N i x N i x N i x
d (d d ) d J d d d
17
有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元刚度矩阵
K e BT CB d BT CB J d d d
1 1 1 1 1 1
等效体积力
Q N T F J d d d
e F 1 1 1 1 1 1
若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处
0 180
0 sin 1
J 0
J 1 存在
25
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 畸变单元举例 节点1 节点2 节点3
sin 1 0, J1 0
sin2 0, J2 0
sin3 0, J3 0
第五章 等参元与数值积分
5.1 等参变换的概念
5.2 等参变换的条件和收敛性
5.3 数值积分方法 5.4 数值积分阶次的选择
1
有限元法基础
5. 等参元与数值积分
本章重点
等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法
实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件
数值积分的基本思想和Gauss积分的特点 单元刚度矩阵数值积分阶次的选择
16
有限元法基础
5.1等参变换的概念 2）体积微元的变换
x y z d i d j d k x y z d d i d j d k x y z d d i d j d k d
5
有限元法基础
5.1等参变换的概念
6
有限元法基础
5.1等参变换的概念
规则化单元：母单元
在自然坐标系内(局部)
实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体)
利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系
x Ni' xi
i 1
n
m
y Ni' yi
i 1
n
m
z Ni' zi
i 1
n
m
u Ni ui

Ae
( ) d
0
1 1 L2

0
( ) J dL1dL2
直边三角形时： J 2
22
有限元法基础
5.1等参变换的概念 6）体积坐标

L1, L2 , L3 , 1 L4
Ni [ , , , 1 ]
21
1/2
有限元法基础
5.1等参变换的概念 5）面积坐标
L1, L2 , 1 L3
Ni [ , , 1 ]
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni Ni L1 L2 L3 L1 L3 Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni Ni L1 L2 L3 L2 L3
i 1
v Ni vi
i 1
w Ni wi
i 1
7
有限元法基础
5.1等参变换的概念 等参变换
坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n, 并且
采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。 超参变换 坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即m>n。 这样建立的单元，称为超参元。 次参变换 坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即m<n。 这样建立的单元，称为次参元。
1 (1, 0, 0) 2 (0,1, 0) 3(0, 0,1) 4(0, 0, 0)

e
( ) d
0
1 1 L1 1 L1 L2

0 0
( ) J dL3dL2 dL1
23
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 等参变换的条件
等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆
8
有限元法基础
5.1等参变换的概念 例：一维2节点单元
x Ni xi
i 1
2
y Ni yi
i 1
2
z Ni zi
i 1
2
1 N i (1 i ) 2
(i 1, 2)
9
有限元法基础
5.1等参变换的概念 例：二维3节点单元
x Ni xi
i 1
四边形退化为三角形单元的积分精度较差。
27
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 等参单元的收敛性 弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性： 完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移 和常应变。
协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间
的位移场是连续的。
28
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 完备性 设单元内任一点i的位移场为
由于 J 是连续函数，故在1-2边至到2-3边时 必有一点
J 0
，不具备等参变换条件。
26
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 畸变单元举例 边1-2 退化为一个节点 在该点处
d 0
J 0 ，也不具备
等参变换条件。 实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，
并不会出现奇异性，应用中仍可使用；
19
有限元法基础
5.1等参变换的概念 边界面力的变换
e QT e N TT d
以 1为例，d 0
Q e N T T dA N T T Ad d
Ae 1 1 1 1
20
有限元法基础
5.1等参变换的概念 4）对二维问题
Ni x Ni x y Ni Ni Ni x ( x, y) x x N J N N y i ( , ) i i y y y
dA = d d
1
Ad d
1/2
y z y z 2 Z x z x 2 x y x y 2 A
y * J = x

y x
x y y x J
面元
d dxdy J dd
线元 1
x 2 y 2 d d
3
y Ni yi
i 1
3
z Ni zi
i 1
3
Ni [1 , , ]
10
有限元法基础
5.1等参变换的概念 例：平面4节点单元
x Ni xi
i 1
4
y Ni yi
i 1
4
1 Ni (1 i )(1 i ) (i 1, 2,3, 4) 4
18
有限元法基础
5.1等参变换的概念 3）面积微元的变换 以 1为例，d 0