知识框架
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2
÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发
生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的
1
3，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图12
::
S S a b
=
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
ACD BCD
S S=
△△
；
反之，如果
ACD BCD
S S=
△△
，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
三角形等高模型和鸟头模型
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()
ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△
△例题精讲
【例1】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形
EBC 面积的几倍？欢迎关注：奥数轻松学
余老师薇芯：69039270
E
D
C
B
A
【巩固】如图30-5，设正方形ABCD 的面积为1，E，F 分别为边AB，AD 的中点，FC=3GC，则阴影部分的面
积是多少?
【例2】ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，
那么阴影部分的面积是
．
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P 点连接,求阴影部分面积．
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【例3】如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为m，n，那么△AFG 的面积的值（
）
A、只与m 的大小有关
B、只与n 的大小有关
C、与m、n 的大小都有关
D、与m、n 的大小都无关
G
F
E
D C
B
A
【巩固】如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴
影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?
【例4】如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是
平方厘米．
【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长
是BF 长的3倍．那么三角形AEF
的面积是多少平方厘米？
【例5】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
G
F
D
C
B A
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘
米？
A B
C E F D
【例6】如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ
的面积是多少平方厘米？
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是
2cm
．
【例7】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平
方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，
那么三角形ABC 的面积是多少？
E
D C
B
A 【例8】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2A
B AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
【巩固】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面
积是多少？
A
C
D
C E
B A
【例9】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长
是BF 长的3倍．那么三角形AEF
的面积是多少平方厘米？
【巩固】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC
的面积是多少？
E
D
C
B
A
【例10】如下图，已知．AE=
15AC，CD=14BC，BF=1
6AB，那么DEF ABC
三角形的面积三角形的面积等于多少?
【巩固】如下图，在△ABC
中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
【例11】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；
延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F
E
D
C
B A 【巩固】如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘
米，则EFGH
的面积是多少平方厘米?
【例12】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是
221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
红
绿
黄红
【巩固】将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，
如下图，则阴影部分的面积是_______平方厘米．
课堂检测
【随练1】
下图的梯形ABCD 中，下底是上底的2倍，E 是AB 的中点。
那么梯形ABCD 的面积是三角形BDE
面积的多少倍？
【随练2】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE＝1.5，CF＝2．长方形EFGH 的面积为．
【随练3】
已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E
D C
B
A
【随练4】
如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，
2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？
A
B E
C D
D
C E
B A
课后作业
【作业1】
如下图，三角形ABC 的面积是144平方厘米，BD=18厘米，DC=6厘米，AE=10厘米，EC=5厘米。
求：三角形ADE 的面积。
【作业2】下图中，三角形ABC 的面积是36平方厘米，三角形ABE 与三角形AEC 的面积相等，如果AB=9
厘米，FB=FE，求三角形AFE
的面积。
【作业3】
如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE(图中阴影部分)
的面积为8
平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【作业4】
已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则ABCD
S =
四边形．
F
E D
C
B
A
【作业5】
如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD
的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
教学反馈
学生对本次课的评价
○特别满意○满意○一般
家长意见及建议
家长签字：
MSDC模块化分级讲义体系四年级奥数.几何.三角形等高模型（A）.学生版Page11of11。