模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.三角形等高模型与鸟头模型EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?EDCBAABCD E【解析】 连接BE .∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V .【巩固】如图,三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲.【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC△的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示,在平行四边形中,E 为的中点,2AF CF =,三角形(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?【解析】 连接.三角形面积是三角形面积的2倍,而三角形面积是三角形面积的2倍,所以三角形面积是三角形面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形面积的326⨯=()倍.因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米).【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积. FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?AB ECDDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份,则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△,设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米,三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为平方厘米.A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =,可得23CE AC =.根据”共角定理”可得,():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△;而66218ABC S =⨯÷=△;所以4CEF S =△;同理得,:2:3CDE ACD S S =△△;,183212CDE S =÷⨯=△,6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米).【例 7】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.F EDCBAAB CDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用.连接AE 、CD .∵11ABC DBCS S =V V ,1ABC S =V ,∴S 1DBC =V .同理可得其它,最后三角形DEF 的面积18=.(法2)用共角定理∵在ABC V 和CFE V 中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴111428ABC FCES AC BC S FC CE⋅⨯===⋅⨯V V .又1ABC S =V ,所以8FCE S =V . 同理可得6ADF S =V ,3BDE S =V .所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=V V V V V .【例 8】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△.又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△. 所以213618ABCD EFGHS S ==.【例 9】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图,将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 .A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD .由于2BE AB =,2BF BC =,于是4BEF ABC S S ∆∆=,同理4HDG ADC S S ∆∆=.于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.再由于3AE AB =,3AH AD =,于是9AEH ABD S S ∆∆=,同理9CFG CBD S S ∆∆=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==.【例 11】如图,在ABC △中,延长AB 至D ,使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =,F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少?A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△.又2ABC S =V ,所以0.5FCE S =V . 同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图,1ABC S =△,5BC BD =,4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGS S V .SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况. 最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△.【例 13】如图所示,正方形ABCD 边长为8厘米,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米?ABC DEF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG .因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ,8EFG S =V ,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFC S =V ,32ABFE S =,24ABF S =V ,所以12ABG S =V 平方厘米.【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形.假设正六边形的边长为为a ,则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为16,三角形DEF 的面积为496.由于4FA a =,3FB a =,所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=.同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249,所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=,所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=.【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 .B DCEA【解析】 从图中可以看出,虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE 外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。