含参一元二次方程专题复习一、基础知识梳理㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解.㈡、24b ac ∆=-叫作一元二次方程的判别式：⑴0∆>方程有两个不相等的实数根12b x a -+=，22b x a--=; ⑵0∆=方程有两个相等的实数根122b x x a==-; ⑶0∆<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a= . 二、基本技能习得㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用；㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”；㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根.三、基本思想导航注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。
例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决；㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解；㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通；㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0∆≥）还是“不相等的实数根” （0∆>）如例1、例3和例4.在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方法解决问题。
在本节中没有例题都有体现，特别是例3.四、典型例题经验例1、已知常数k 为实数，讨论关于x 的方程2(3)(21)0k x k x k -+-+=的实数根的个数情况。
【解析】此题是对一元二次方程定义和其判别式应用的小综合考查，解决此题学生要有分类的数学思想又一定的感悟。
在分类基础上运用一元一次不等式和一元一次方程的知识解决问题.【解答】当30k -=，即3k =时原方程为530x +=，35x =-原方程只有一个实数根当30k -≠，即3k ≠时原方程为一元二次方程，其判别式当18k >-，且3k ≠原方程有两个不相等的实数根； 当18k =-，原方程有两个相等的实数根； 当18k <-，原方程没有实数根. 【解法】先分一元二次方程、一元一次方程两类，再根据判别式和30k -=，求出k 的值。
例2、方程2(4)0x m x m ---=的两个根分别是1x 、2x ，⑴试判断方程的根的情况；⑵设12||A x x =-则是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个值；若不存在说明理由.【解析】通过判别式224[(4)]41()b ac m m ∆=-=---⨯⨯-的进行必要的变形后，由关于m 的代数式的值来确定方程根的情况。
直接求12||A x x =-最值比较困难，但题目给出方程有两个实数根，而12||A x x =-的形式来看，它一个对称式，这两点提示我们用韦达定理来求解。
沿着这个思路，通过平方，把绝对值去掉。
由222121212||()4A x x x x x x =-=+-可把2A 转化为关于m 的代数式，从而求解.【解答】⑴由题意得：22[(4)]41()(2)12m m m ∆=---⨯⨯-=-+∴方程一定存在两个不等实数根 .⑵124x x m +=-，12x x m =-，12||A x x =-222221*********||2()4A x x x x x x x x x x ∴=-=-+=+-，即22[(4)]41()(2)12m m m ---⨯⨯-=-+，2(2)0m -≥ 2(2)1212m ∴-+≥，当2m =时代数式2(2)12m ∴-+有最小值12，即2A 有最小值12，又12||0A x x =-≥，212A =时，A ==12||A x x ∴=-存在最小值，且最小值为【解法】在判断∆的符号时和讨论2A 的最值时，都用到了配方法，可见在配方法是初中数学的常用方法.在解决第⑵小时，用到了转化的思想，表面上看，12||A x x =-最值和韦达定理没有联系，但是通过两边平方之后，将问题转化为2A 的最值，使问题得到顺利解决.例3、△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于的一元二次方程()2223320k k k x x ++++=-的两个实数根，第三边BC 的长为5 .⑴k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?⑵k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长。
【解析】⑴根据题意得出AB 、AC 的长，再由根与系数的关系得出k 的值；⑵根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB ＝AC ，②AB ＝BC ，③BC ＝AC ；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k 的值．【解答】⑴∵△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，5BC ＝2225AB AC ∴+＝， ∵AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223320k k k x x ++++=-的两个实数根，∴22332AB AC k AB AC k k ++++＝，＝，∴()2222AB AC AB AC AB AC ++＝﹣， 即22332AB AC k AB AC k k ++++＝，＝，()()222323225k k k +++﹣＝，解得2k ＝或5﹣（不符合题意舍去）.⑵∵△ABC 是等腰三角形；∴当AB AC ＝时，240b ac ∆＝﹣＝，∴()()2223432k k k +++﹣=0解得k 不存在；当AB BC ＝时，即5AB ＝， ∴523AC k ++＝， 2532AC k k ++＝， 解得3k ＝或4，∴4AC ＝或6， ∴△ABC 的周长为14或16．【解法】本题是一元二次方程根与几何问题相结合的实际应用典型例题。
在解答时，应注意把几何知识用代数符号表示如：勾股定理（2225AB AC +＝）；三角形三边关系（①AB ＝AC ，②AB ＝BC ，③BC ＝AC ）结合韦达定理和判别式求解。
同时，综合运用分论讨论、数形结合和方程的思想。
例4、m 是什么整数时，方程()()221631720m x m x ---＋＝有两个不相等的正整数根．【解析】首先根据已知条件可得m 2﹣1≠0，进而得到m ≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m ≠3；再利用求根公式用含m 的式子表示x ，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m 的值即可．【解答】解法1首先，()221013630m m m -≠≠±∆=-，．＞，所以3m ≠，用求根公式可得：161x m =-、2121x m =+， 由于12x x ，是正整数， 所以，1123611234612m m -=+=，，， ; ，，，，，; 解得2m =这时126,4x x ==。
解法2首先，2101m m -≠≠±，。
设两个不相等的正整数根为12x x ，，则由根与系数的关系知：212346891218243672m -=，，，，，，，，，，，即234579101319253773m =，，，，，，，，，，，只有24925m =，，才有可能，即235m =±±±，，。
经检验，只有2m =时方程才有两个不同的正整数根．【解法】说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求解)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的。
有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法。
综上来说，此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．五、模块练习提升A 级1．（2019.盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2019年淄博市）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0 3.（2019.潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2 4.（2019.苍南）若一元二次方程230-+=有两个相等的实数根，则c的值x x c是．5．（2019.白银）关于x+=有两个相等的实数根，则mx的一元二次方程210的取值为．6．（2019.邵阳）关于x的一元二次方程220--=有两个不相等的实数根，则x x mm的最小整数值是．7．（2018.成都）若关于x的一元二次方程22-++=有两个不相等的实x a x a(21)0数根，求a的取值范围．8．（2019.黄石）已知关于x的一元二次方程26(41)0-++=有实数根．x x m（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且12||4x x -=，求m 的值．B 级9．（2019．广元）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1,3)P a a +--在第 象限．10．（2019.罗湖区）在等腰ABC ∆中，三边分别为a ，b ，c ，其中2a =，若关于x 的方程2(1)10x b x b +-+-=有两个相等的实数根，则ABC ∆的周长是 ．11．（2018．绥化）已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当52m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．C 级12．（2019．沙坪坝）从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程222(4)0x a x a --+=有实数解，且关于y 的分式方程1311y a y y +-=--有整数解，(则符合条件的a 的值的和是 ) A ．6- B ．4- C ．2- D ．213．（2017．西城）已知关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=．（1）求证：无论m 取任何实数，该方程总有实数根；（2）若0m ≠，关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=的解是整数解，求m 的整数值．。