的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r

C1909071

C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期五
总结
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
(2)令n k时，等式成立，即
（a＋b）k＝C0ka k＋C1ka k－1b＋C2ka k－2b2＋＋Ckkbk 那么（a＋b）k1 (a b)(a b)k
(a b)(C0kak＋C1kak－1b＋C2ka k－2b2＋＋Ckkbk )

a (C 0k a
k＋C1k
二项式定理
公式变形：
（a－b）n＝ C0na n－C1na n－1b＋C2na n－2b2－＋ （－1）rCrna n－rbr＋ ＋（－1）nCnnbn
通项公式 Tr＋1＝ 1 r Crnan－rbr
例题讲解
例1
求

3
x
1 4 x 的展开式
解：

3
x
1 x
a
k－1b＋C
2 k
a
k－2 b 2＋
＋C
k k
b
k
)

b(C0k
a
k＋C1k
a
k－1b＋C2k
a
k－2
b
2＋


＋C
k k
b
k
)
C C C r1
r
k
k
r 1 k 1

C0k1a k1

(C1k

C0k
)a kb

(C
2 k

C1k
)a k－1b2
...

Ckk bk1
x8r
(
x

1 2
)r

(1)r
C8r
x8r
x
r 2

(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2 2
Cnn-1abn-1 Cnnbn
二项式展开的通项
Tr1 Cnran-rbr 第 r 1 项
作业：p37 2题（2）。3题(1)。4题（1）（2）
例题讲解
x 例3(04全国卷) ( x 1 )8 的展开式中 5 系数为__________ x
解：设第r+1项为所求项
Tr 1

C8r
r n
与a,b
例如 1 2x n 其第r+1项为 Tr＋1＝Crn 1 n－r 2x r
二项式系数
C
r n
其对应项系数为
Crn 2r
②区别
a b
n
的第r+1项
Tr＋1＝C
r n
a
n－r br
b an
的第r+1项
Tr＋1＝C
r n
b n－r a
r
所以应用二项式时，a与b不能交换位置
4

3x 14
x2

1 x2
[C40 (3x)4
化 简 后 再
C41(3x)3C42(3x)2C43(3x) C44 ]

1 x2
(81x4
108x3

54x2
12 x
1)
展 开
81x2 108x 54 12 1 x x2
例题讲解
4、今天是星期四，那么 8100 天后
（ a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
（ a b )n an an-1b an-2b2 abn-1 bn
二项式定理的探索
（a b)3 (a b)(a b)(a b)
C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3
a3 a2b a b2 b3
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)100 ？
二项式定理的探索
（a b)1 a b
（a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
问题
今天是星期四，那么
（1）7天后的这一天是星期几呢? （星期四） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期五） (3)如果是24天后的这一天呢？ （星期天）
(4)如果是 8100天后的这一天呢？
回顾
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
二项式证明
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
应用数学归纳法证明
(1)当n 1时，左 a b1 a b C10a C11b 右，所以等式成立
Tr＋1＝C
r n
a
n－r
br
r=0,1,2,…n.
表示展开式的第r＋1项
C
r n
（r=0,1,2….n）表示为二项式的系数
二项式定理
二项展开式的通项
Tr＋1＝C
r n
a
n－r b r
注意：①区别二项式系数与对应项的系数：二项式系数特指C
无关。而对。

C0k1a k1

C1k1a kb

C1k1a b k－1 2

...

C b k1 k1 k 1
所以当n=k+1时也成立。由数学归纳法知，等式对一切n∈N﹡成立
二项式定理
（a＋b）n＝C
0 n
a
n＋C1n
a
n－1b＋C
2 n
a
n－2
b
2＋



＋C
n n
b
n
二项展开式的特点
①项数：共n＋1项
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n
③系数：第r＋1项的二项式系数为
C
r n
（r＝0，1，2，…，n）
Crn
二项式定理
二项展开式：定理中右边的多项式
C
0 n
a
n＋C1n a
n－1b＋C
2 n
a
n－2 b 2＋


＋C
r n
a
n－r
b r＋
＋C
n n
b
n
二项展开式的通项
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
二项式定理的探索
（ a b)1 C10a1 C11b1 （ a b )2 C02a2 C12a b C22b2 （ a b )3 C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3 （ a b )4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34a b3 C44b4