习题7-3
1. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.
解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有
(x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2,
即 4x +4y +10z -63=0.
2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径14)2(31222=-++=R ,
球面方程为
(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14,
即 x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0.
3. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面?
解 由已知方程得
(x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,
即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x ,
所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以6为半径的球面. 4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？
解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有
2
1)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x , 化简整理得
9
116)34()1()32(222=+++++z y x ,
它表示以)34 ,1 ,32(---为球心, 以293
2为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x . 6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.
7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2-9y 2-9z 2=36.
双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为
4x 2+4z 2-9y 2=36.
8. 画出下列方程所表示的曲面:
(1)222)2
()2(a y a x =+-;
(2)19
422=+-y x ;
(3)14
922=+z x ;
(4)y 2-z =0;
(5)z=2-x2.
9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:
(1)x=2;
解在平面解析几何中,x=2表示平行于y轴的一条直线;在空间解析几何中,x=2表示一张平行于yOz面的平面.
(2)y=x+1;
解在平面解析几何中,y=x+1表示一条斜率是1,在y轴上的截距也是1的直线;在空间解析几何中，y=x+1表示一张平行于z轴的平面.
(3)x2+y2=4;
解在平面解析几何中,x2+y2=4表示中心在原点,半径是4的圆;在空间解析几何中,x2+y2=4表示母线平行于z轴,准线为x2+y2=4的圆柱面.
(4)x2-y2=1.
解在平面解析几何中,x2-y2=1表示双曲线;在空间解析几何中,x2-y2=1表示母线平行于z轴的双曲面.
10.说明下列旋转曲面是怎样形成的:
(1)19
94222=++z y x ; 解 这是xOy 面上的椭圆19
422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19
422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的. (2)14
222=+-z y x ; 解 这是xOy 面上的双曲线14
22=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线14
22=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的.
(3)x 2-y 2-z 2=1;
解 这是xOy 面上的双曲线x 2-y 2=1绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线x 2-z 2=1绕x 轴旋转一周而形成的.
(4)(z -a )2=x 2+y 2 .
解 这是zOx 面上的曲线(z -a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线(z -a )2=y 2绕z 轴旋转一周而形成的. 11. 画出下列方程所表示的曲面:
(1)4x 2+y 2-z 2=4;
(2)x 2-y 2-4z 2=4;
(3)9
4322y x z +=.。