概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健 审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。

【相关公式】 ❖ 全概率公式：()()()()()()n 1122S P()=|()||()()(|)()=()(|)()(|).i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++==+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有：P ?…其中有：。

特别地：当n 2时，有：❖ 贝叶斯公式：()()i 100(1,2,,),()(|)()(|)()(|)()=()(|)()(|)()(|)()(|)()i i i i ni i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>=====+∑12n 设实验的样本空间为。

为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。

现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。

则Ω== 31i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P1000/37100210035100410025100510040=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得 )|(2A A P =∑=3122)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P0.250.0410/3737/1000⨯==2.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。

求：( 1 ) 此人来迟的概率；( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。

解：设事件表示：“此人来迟了”；事件i A 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（i =123，，，4）。

则Ω== 41i i A ，且P A i ()>0，4321A A A A 、、、两两互不相容（1）由全概率公式得∑=⋅=41)|()()(i i i A A P A P A P518152121101315141103=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得P A A (|)1=∑=4111)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 3131041/58⨯==题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式：()1f x dx +∞=-∞⎰，且对于任意实数，有：212211{}()()()x P x X x F x F x f x dx x <<=-=⎰。

【相关例题】（1）设随机变量X 的分布函数为： 0,1x < F X （X ）= ln ,1x x e ≤< 1,x e ≥① 5(2)(03)(2)2P X P X P X <<≤<<求、、 ② ().x f x 求概率密度(1)(2)(2)ln 2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()X X X X X P X P X P X F F P X F F d F X dx x<=≤=<≤=-=-=<<=-==解：1,1x e x <<()x f x ∴=0,其他 （2）2()()1Af x x x=-∞<<+∞+，是确定常数A 。

200+1-1+([arctan ][arctan ]11Adx x A x x A π+∞-∞∞=∞+==-⎰解：由相关性质得：解得：,036xx ≤< （3）设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342xx -≤<，求X 的分布函数。

0,其他 解：0，x<0,0306x x dx x ≤<⎰2,0312x x ⇒≤< 3622,3403x x x x +-≤<⎰⎰232,344x x x ⇒-+-≤< 1,4x ≥ 2、正态分布【相关公式】()F x =（1）公式22()2()()x f x x μσ--=-∞<<+∞其中：,,μσμσ为常数，则称X 服从参数为的正态分布。

（2）若()2~=~(0,1).x X NZ N μμσσ-，，则（3）相关概率运算公式：122112{}{}();{}{}()();()1().X x x P X x P x x x x X P x X x P x x μμμσσσμμμμμσσσσσ---≤=≤=Φ-----≤<=≤<=Φ-ΦΦ=-Φ-【相关例题】1、某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg 计）服从N~（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X ，求： （1）{105},{100120};P X P X ≤<≤ （2）确定最小的,{}0.05x P X x >≤使2(1)~(110,12)1101051105{105}{}()1(0.42)10.66280.3372;121212100110110120110101010{100120}{}()()2()10.5934121212121212110110(2){}1{}1{}1212X N X P X P X P X P X x P X x P X x P --∴<=<=Φ--Φ=-=---<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ-=-->=-≤=-≤解：min 1101()0.0512110()0.95(1.65)12110 1.65129.812129.8x x x x x -=-Φ≤-Φ≥Φ-⇒≥⇒≥∴=即有：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数10.05,0.06μσ==的正态分布，规定长度在范围10.050.12±内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。

(){}.9.9310.0510.0510.1710.0510.05(){}(22)2(2)10.95440.060.060.060.06()1()10.95440.0456A P A X X P A P P P A P A =----=≤≤=-≤≤=Φ-=∴=-=-=解：设一螺栓合格，本题求【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性1.设G 为由抛物线y x =2和y x =所围成区域，()X Y ，在区域G 上服从均匀分布，试求：（1）X Y 、的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量X 与Y 是否相互独立。

解：如图所示，G 的面积为A x x dx =-=⎰()20116因此均匀分布定义得X Y 、的联合概率密度为f x y x y G(,),(,),=∈⎧⎨⎩60其他 而f x f x y dy dy x x x X xx()(,)()===-≤≤-∞+∞⎰⎰660122，f y f x y dx dx y y y Y yy()(,)()===-≤≤-∞+∞⎰⎰6601，所以关于X 和关于Y 的边缘分布密度分别为f x x x x X ()(),,=-≤≤⎧⎨⎩60102其他f y y y y Y ()(),,=-≤≤⎧⎨⎩6010其他（2）由于),()()(y x f y f x f Y X =，故随机变量X 与Y 不相互独立。

2.设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y求：（1）随机变量X 的密度函数)(x f X ； （2）概率}1{≤+Y X P 。

解：（1）x ≤0时，f x X ()=0；x >0时，f x X ()=f x y dy e dy e y x x(,)==--+∞-∞+∞⎰⎰故随机变量X 的密度函数f x X ()=e xx x -<≤⎧⎨⎩，，000（2）P X Y {}+≤1==--+≤⎰⎰⎰⎰f x y dxdy dx e dy y xxX Y (,)10121=+---e e 112123.设随机向量()X Y ，的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,00,10,),(xy x A y x f试求:（1）常数A ；（2）关于X Y 、的边缘概率密度。

解：（1）由归一性 ⎰⎰⎰⎰===∞+∞-∞+∞-1002),(1Adydx A dxdy y x f x所以2=A 。

的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,00,10,2),(xy x y x f（2）关于X Y 、的边缘概率密度为 )10(22),()(0≤≤===⎰⎰+∞∞-x x dy dy y x f x f xX即⎩⎨⎧≤≤=其它010,2)(x x x f X 同理可求得关于Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤-=其他,010),1(2)(y y y f Y4.设随机变量（X ，Y ）具有概率密度⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x Ce y x f y x ，求（1）常数C ；（2）边缘分布密度。

解：（1）由于f x y dxdy ()，-∞+∞-∞+∞⎰⎰=1，故1=Cedxdy C e dx e dy C x y xy -++∞--+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰==()所以C =1，即f x y e x y x y (,),()=≥≥⎧⎨⎩-+，，其他00（2）⎰⎰+∞∞--+-+∞===x y x X e dy e dy y x f x f )(0),()( 0≥x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他，00,)(x e x f x X⎰⎰+∞∞--+-+∞===y y x Y e dx e dx y x f y f )(0),()( 0≥y ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他，00,)(y e y f y Y【题型四】最大似然估计的求解【相关公式】()()(1)()0ln ()0220ln 0(1,2,3,,)i id d L L d d i i L L i k θθθθθθθ==≥∂∂===∂∂当只有一个变量的时候，有：或；当未知变量有的时候，有：或……【相关例题】1、设概率密度为：,01xe x λλ-<<()f x =0,其他λ求的最大似然估计.()1111()exp ln ()ln ()1()0=.nnxni i i nii ni i nL ex l L n x d n l x d d l d x λλλλλλθλλλλλλλλ-====⎛⎫==- ⎪⎝⎭==-=-=∑∏∑∑解：令，即有：2、123,,,n X X X X 设,?… 是来自概率密度为：1,01x x θθ-<<(;)f x θ=0,其他 的总体的样本，θ未知，求θ的最大似然估计。