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孟 生 旺 ，徐 昕 ：非 寿 险 费 率 厘 定 的 索 赔 频 率 预 测 模 型 及 其 应 用
的随机变量，其 密 度 函 数 为 ｕ（θ），通 常 称 作 结 构 函 数，那么Ｙ 的边际分布就是一个混合泊松分布，均值 为λ［５］１３５－１４４。采用不同 的 结 构 函 数 将 生 成 不 同 的 混 合泊松分布，因此混 合 泊 松 分 布 的 尾 部 特 征 与 结 构 函 数 密 切 相 关 ，结 构 函 数 的 尾 部 越 厚 ，混 合 泊 松 分 布 的尾部将会越长。 在 混 合 泊 松 分 布 中，最 常 见 的 结 构函数是伽玛分布 和 逆 高 斯 分 布，相 应 的 混 合 泊 松 分布就是负二项分布和泊松－逆高斯分布。当然， 还 可 以 考 虑 其 他 结 构 函 数 ，如 对 数 正 态 分 布 、广 义 逆 高斯分布和平移伽 马 分 布，它 们 分 别 对 应 泊 松 － 对 数正态分布、Ｓｉｃｈｅｌ分布和 Ｄｅｌａｐｏｒｔｅ布。
过离散程度的索赔次 数 数 据。虽 然 可 以 证 明 广 义 泊
松分布和混合负二项 分 布 也 属 于 混 合 泊 松 分 布，但
由于其结构函数比较 复 杂，因 此 目 前 还 难 以 与 前 述
三个模型的过离散特征进行直接比较。
（一 ）负 二 项 回 归 模 型
负二项 分 布 有 两 种 常 见 类 型，分 别 称 之 为 负 二
第 ２７ 卷 第 ９ 期 Ｖｏｌ．２７ Ｎｏ．９
【统 计 理 论 与 方 法 】
统计与信息论坛 Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ＆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｆｏｒｕｍ
２０１２ 年 ９ 月 Ｓｅｐ．，２０１２
非寿险费率厘定的索赔频率预测模型及其应用
孟 生 旺１，徐 昕２
（１．中国人民大学 应用统计研究中心，北京 １００８７２；２．首都经济贸易大学 金融学院，北京 １０００７０）
关 键 词 ：非 寿 险 ；费 率 厘 定 ；索 赔 频 率 ；过 离 散 中 图 分 类 号 ：Ｏ２１２ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００７－３１１６（２０１２）０９－００１４－０６
一、引 言
在 非 寿 险 分 类 费 率 厘 定 中，通 常 需 要 建 立 索 赔 频率的预测模型，并 通 过 该 模 型 对 被 保 险 人 的 期 望 索赔频率进行预 测，从 而 作 为 费 率 厘 定 的 基 础。 在 传 统 的 线 性 回 归 模 型 中 ，假 设 因 变 量 服 从 正 态 分 布 、 且具有相同的方差，但 索 赔 频 率 是 严 格 非 负 的 离 散 型 随 机 变 量 ，其 方 差 的 大 小 往 往 与 均 值 有 关 ，通 常 遇 到 的 情 况 是 均 值 越 大 ，方 差 也 会 越 大 ，故 传 统 的 线 性 回归模型很难满足建立索赔频率预测模型的需要。
摘要：在非寿险分类费率厘定中，泊 松 回 归 模 型 是 最 常 使 用 的 索 赔 频 率 预 测 模 型 ，但 实 际 的 索 赔 频 率 数 据往往存在过离散特征，使泊松回 归 模 型 的 结 果 缺 乏 可 靠 性。 因 此，讨 论 处 理 过 离 散 问 题 的 各 种 回 归 模 型， 包括负二项回归模型、泊 松 － 逆 高 斯 回 归 模 型、泊 松 － 对 数 正 态 回 归 模 型 、广 义 泊 松 回 归 模 型 、双 泊 松 回 归 模 型、混合负二项回归模型、混合二项回归模型、Ｄｅｌａｐｏｒｔｅ回归模型和 Ｓｉｃｈｅｌ回 归 模 型，并 对 其 进 行 系 统 比 较 研 究认为：这些模型都可以看 做 是 对 泊 松 回 归 模 型 的 推 广，可 以 用 于 处 理 各 种 不 同 过 离 散 程 度 的 索 赔 频 率 数 据 ，从 而 改 善 费 率 厘 定 的 效 果 ；同 时 应 用 一 组 实 际 的 汽 车 保 险 数 据 ，讨 论 这 些 模 型 的 具 体 应 用 。
二项 Ⅰ 型的过离散程度越严重；当ａ → ∞ 时，负二 项 Ⅰ 型退化为泊松分布。令λｉ ＝ ｗｉｅｘｐ（ｘｉＴβ），即得 到负二项 Ⅰ 型回归模型。
负二项 Ⅰ 型的概率函数可以表示为： Ｐｒ（Ｙｉ ＝ｙｉ）＝Γ（λｉ／σ）ΓΓ（（λ１ｉ／＋σｙ＋ｉｙ）（ｉ１）σ＋ｙｉσ）ｙｉ＋λｉ／σ
（ｙｉ ＝０，１，…） 负二项 Ⅰ 型的均值和方差分别为： Ｅ（Ｙｉ）＝λｉ Ｖａｒ（Ｙｉ）＝λｉ（１＋σ） 可以看出：σ越大，负 二 项 Ⅱ 型 的 过 离 散 程 度 越 严 重；当σ→０时，负二项 Ⅱ 型退化为泊 松 分 布。令λｉ ＝ ｗｉｅｘｐ（ｘｉＴβ），即得到负二项 Ⅱ 型回归模型。 （二）泊松 － 逆高斯回归模型
广义线性模型是对传统线性回归模型的推广， 在因变量服从指数 分 布 族 的 情 况 下，可 以 建 立 相 应 的广义线性模型，并 采 用 迭 代 加 权 最 小 二 乘 法 对 模 型参数进行估计。指数分布族包括一些很常见的分 布 类 型 ，如 二 项 分 布 、泊 松 分 布 、正 态 分 布 、逆 高 斯 分 布 等 。 可 以 证 明 ，在 广 义 线 性 模 型 中 ，迭 代 加 权 最 小 二乘法的估计结 果 等 价 于 极 大 似 然 估 计 。 ［１］８１－８９ 广 义线性 模 型 在 非 寿 险 费 率 厘 定 中 的 应 用 十 分 广 泛［２］［３］３６［４］８１－１２７，在 索 赔 频 率 的 预 测 模 型 中 ，最 常 见
当实 际 观 察 数 据 存 在 过 离 散 特 征 时，可 将 泊 松 回归模型进行推广。由于混合泊松分布的方差总是 大于均值，因此一种 自 然 的 想 法 就 是 建 立 混 合 泊 松 回归模型。生成混合泊松分布 的 基 本 思 想 是：假 设 在θ给定的条件下，损 失 次 数 随 机 变 量Ｙ 服 从 泊 松 分 布，即Ｙ｜θ＝Ｐｏｉｓｓｏｎ（λθ），而θ是一个均值等于１
在 处 理 过 离 散 数 据 时，可 以 考 虑 的 另 外 几 个 分 布 模 型 包 括 广 义 泊 松 分 布 、双 泊 松 分 布 、混 合 二 项 分 布和混合负二项 分 布。 可 以 证 明，广 义 泊 松 分 布 和 混合负二项分布也 可 以 表 示 为 混 合 泊 松 分 布，只 不 过其结构 函 数 较 为 复 杂［６－７］）。 虽 然 还 不 能 证 明 前 面提到的其他过离散分布是否也可以表示为混合泊 松 分 布 ，但 由 于 其 具 有 方 差 大 于 均 值 的 性 质 ，因 此 也 可用于建立过离散索赔频率的预测模型。
二、泊松回归模型与混合泊松回归模型
假设共有 ｐ 个分类变量，将所有保单 分 为ｎ 个
风 险类别，其中第ｉ个风险类别在ｐ 个分类变量上的 取 值用ｘｉ ＝ （ｘｉ１，…，ｘｉｐ ）Ｔ 表示，并用ｗｉ 表示第ｉ个 风险类别包含的风 险 单 位 数 （如 汽 车 保 险 中 的 车 年
数）。
令Ｙｉ 表 示 第ｉ 个 风 险 类 别 的 索 赔 次 数 随 机 变 量，ｉ＝１，２，…，ｎ。若Ｙｉ 服从泊松 分 布，则 其 概 率 函 数为：
泊松 － 逆高斯分布的概率函数有不同的表达 式 ，其 中 以 均 值 为 参 数 之 一 的 表 达 式 如 下 ：
∞
∫ Ｐｒ（Ｙｉ ＝ｙｉ）＝
ｅｘｐ（－θλｉ）（θλｉ）ｙｉ ｙｉ！
０
ｅｘｐ［－ （θ－１）２／（２τθ）］ｄθ
槡２πτθ３
（ｙｉ ＝０，１，…）
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收 稿 日 期 ：２０１２－０４－２３；修 复 日 期 ：２０１２－０７－０３ 基 金 项 目 ：教 育 部 重 点 研 究 基 地 重 大 项 目 《随 机 效 应 模 型 及 其 在 非 寿 险 风 险 管 理 中 的 应 用 》（１２ＪＪＤ７９００２５）；国 家 自 然 科 学
基 金 项 目 《考 虑 风 险 相 依 的 非 寿 险 精 算 模 型 研 究 》（７１１７１１９３）；中 国 人 民 大 学 科 学 研 究 基 金 项 目 （中 央 高 校 基 本 科 研 业 务 费 专 项 资 金 资 助 ）《非 寿 险 定 价 的 精 算 统 计 模 型 及 其 应 用 研 究 》（１０ＸＮＩ００１） 作 者 简 介 ：孟 生 旺 ，男 ，甘 肃 秦 安 人 ，教 授 ，博 士 生 导 师 ，研 究 方 向 ：风 险 管 理 与 保 险 精 算 ； 徐 昕 ，男 ，河 南 郑 州 人 ，讲 师 ，研 究 方 向 ：风 险 管 理 与 保 险 精 算 。
项 Ⅰ 型和负二项 Ⅱ 型。
负二项 Ⅰ 型的概率函数可以表示为：
Ｐｒ（Ｙｉ ＝ｙｉ）
（ ）（ ）
＝
Γ（ａ＋ｙｉ） Γ（ａ）Γ（１＋ｙｉ）ａ
ａ ＋λｉ
ａ λｉ ａ ＋λｉ
ｙｉ
（ｙｉ ＝０，１，…）
负二项 Ⅰ 型的均值和方差分别为：
Ｅ（Ｙｉ）＝λｉ Ｖａｒ（Ｙｉ）＝λｉ ＋λｉ２／ａ
从上述均值和方差的关 系 可 以 看 出：ａ 越 小，负
Ｐｒ（Ｙｉ
＝
ｙｉ）＝
ｅｘｐ（－λｉ）λｉｙｉ ｙｉ！
（ｙｉ ＝０，１，…）
泊 松 分 布 的 均 值 与 方 差 相 等，即 Ｅ（Ｙｉ）＝ Ｖａｒ（Ｙｉ）＝λｉ。若令λｉ ＝ ｗｉｅｘｐ（ｘｉＴβ），其中β是ｐ × １阶的参数向量，将其代入概率函 数，即 可 得 到 求 解
泊松回归模型的似然函数。
由于混 合 泊 松 分 布 的 方 差 总 是 大 于 均 值，因 此
的广义线性模型是 泊 松 回 归 模 型，即 在 索 赔 次 数 服 从泊松分布的假设基础上建立的回归模型。
泊松 分 布 的 特 点 之 一 是 方 差 等 于 均 值，而 实 际 上的索赔次数数据 往 往 具 有 过 离 散 特 征，即 方 差 大 于均值。导致过离 散 的 原 因 可 能 多 种 多 样，如 由 于 保险公司和保单持 有 人 增 强 了 风 险 防 范 意 识，大 多 数保单不会发生保 险 事 故；或 因 为 保 险 公 司 应 用 了 免赔额或无赔款折 扣 等 条 款，许 多 被 保 险 人 在 发 生 轻微事故时不会提 出 索 赔；或 个 别 被 保 险 人 的 风 险 太 大 ，其 索 赔 频 率 远 远 高 于 总 体 的 平 均 水 平 ，在 这 些 情况下若仍使用泊 松 回 归 模 型，可 能 会 低 估 参 数 的 标准误和高估其显 著 性 水 平，从 而 在 模 型 中 保 留 多 余 的 解 释 变 量 ，最 终 导 致 不 稳 定 的 费 率 厘 定 结 果 。