2017-2018学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D选项.3. 已知等比数列中，，，成等比数列，设为数列的前项和，则等于（）A. B. 3或 C. 3 D.【答案】B【解析】因为，，成等比数列，，整理可得，，或，当时，则，当时，则，故选B.4. 将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为和，则方程有实数解的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若方程有实根，则必有，若，则；若，则；若，则；若，则若，则；若，则，事件“方程有实根”包含基本事件共，事件的概率为，故选C.5. 函数（）的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数得，得或，根据题意，设，则，图象开口向上，因函数为单调增函数，由得：也是增函数，又因在上是增函数，故的取值范围是，故选D.6. 一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 28B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱：ABIE-DCJH，该几何体的表面积为：.本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．7. 已知，且，若，则一定有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于，当时不成立，排除；对于，时，不成立，排除；对于，时不成立，排除，故选D.8. 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料2千克，原料3千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗原料都不超过12千克的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为（）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元，则根据题意可得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线，然后把直线向可行域平移，可得，此时最大，故选C. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为，若三角形的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线与夹角为，且，与夹角为，，，即点轨迹方程为，半焦距为，焦点坐标为，故选A.10. 执行下面的程序框图，如果输入的，，，则输出的值满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：运行程序，，判断否，，判断否，，判断是，输出，满足.考点：程序框图.11. 已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，，又，点到的距离为，解得，故选B.【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程以及几何性质、离心率的求法，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12. 设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故选A.【方法点晴】本题主要考查的是正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于难题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误，求二面角的常见方法有：1、利用定义找到二面角的平面角，根据平面几何知识求解；2、利用公式，求出二面角的余弦，从而求得二面角的大小；3、利用空间相夹角余弦公式．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，，且，则实数__________．【答案】【解析】，由，得，解得，故答案为.14. 展开式中的系数为__________．（用数学填写答案）【答案】【解析】的二项展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中的系数为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 设等差数列满足，，且有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列是等差数列，且，所以，是一元二次方程的二根，由得，或，当时，，，当时，取得最小值，由解得，时，取得最小值，此时，当时，，，当时，取得最小值，由解得，时，取得最小值，此时，故答案为.16. 已知函数（，，），直线与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在上的值域是；②在上，当且仅当时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是；④的图象可能过原点.其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）【答案】③【解析】对于①，符号不确定，该函数在上的值域不一定是，故①错误；对于②，时函数也可能取最小值，故②错误；对于③，由，令，可得，故③正确；对于④，过原点与相矛盾，④错误，故答案为③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：(1)由题意可得数列的公比为2，则数列的通项公式为.(2)首先由题意求得数列的公差，然后结合等差数列前n项和公式可得或.学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...试题解析：（1）设的公差为，的公比为，则，.由，得①由，得②联立①和②解得（舍去），或，因此的通项公式.（2）∵，∴，或，∴或8.∴或.18. 在锐角中，内角的对边分别是，满足. （1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简，可得的值，从而求得的值；（2），∴，∴，，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知得化简得，又三角形为锐角三角形，故. （2）∵，∴，∴，由正弦定理得：即：，即由知.19. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84乙 78 82 88 82 95 90（1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为，求的分布列和数学期望及方差.【答案】(1) 故选乙；(2) ，.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图的定义，观察数据的平均值以及数据分散与集中程度可得结果；（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是，成绩高于85分的次数为服从二项分布，从而可得分布列，利用二项分布的期望与方差公式可得结果.试题解析：（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙．（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是，成绩高于85分的次数为服从二项分布，分布列为，20. 如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）设为的中点，试在上找一点，使得平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）；(2) 正弦值为.【解析】试题分析：（1）取中点，连接，由等比例定理及平行线的性质可得平面，则，∴为平行四边形，所以；（2）由等积变换可求出点到平面的距离，又知，从而可得直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（1）取中点，连接，∵，，∴且，所以共面，若平面，则，∴为平行四边形，所以（2）设点到的距离为，由可得.设中点为，作垂直直线于，连接，∵平面∴，则，，∴，所以直线与平面所成的角的正弦值为.21. 已知抛物线（）和定点，设过点的动直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交点为.（1）若在以为直径的圆上，求的值；（2）若三角形的面积最小值为4，求抛物线的方程.【答案】(1)；(2) .【解析】试题分析：（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合处的切线斜率乘积为可得结果；（2）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到，从而可得结果..试题解析：（1）可设，，，将方程代入抛物线方程得则，①又得，则处的切线斜率乘积为则有（2）由①可得点到直线的距离∴，∴，故抛物线的方程为22. 已知函数（）（…是自然对数的底数）.（1）求单调区间；（2）讨论在区间内零点的个数.【答案】(1) 当时，，单调增间为，无减区间；当时，单调减间为，增区间为(2) 所以或或时，有两个零点；当且时，有三个零点【解析】试题分析：(1) 求出，讨论，两种情况，分别令得增区间，得减区间；(2)要求在区间内零点的个数，考虑在区间的零点个数，利用导数研究函数的单调性，分三种情况，，，分别求出零点个数即可.试题解析：（1）当时，，单调增间为，无减区间；当时，单调减间为，增区间为（2）由得或先考虑在区间的零点个数当时，在单调增且，有一个零点；当时，在单调递减，有一个零点；当时，在单调递减，单调递增.而，所以或时，有一个零点，当时，有两个零点而时，由得所以或或时，有两个零点；当且时，有三个零点.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.。