第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab都在S 内，那么称S 是一个数环。

定义2 设F 是一个数环。

如果（i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b∈，那么就称F 是一个数域。

定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。

第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式()1 2012nn a a x a x a x ++++L ，是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。

项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，ii a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。

定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 nn a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012nn a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。

定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂()ii ()()()()()()()0f xg x f x g x ∂=∂+∂。

多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++；3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =；5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。

推论2.1.1 ()()0f x g x = 当且仅当()f x 和()g x 中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x =2.2 多项式的整除性设F 是一个数域。

[]f x 是F 上一元多项式环定义 令()f x 和()g x 是数域F 上多项式环[]f x 的两个多项式。

如果存在[]f x 的多项式()h x ，使()()()g x f x h x =，我们说，()f x 整除（能除尽）()g x 。

多项式整除的一些基本性质：1） 如果()()f x g x |，()()g x h x |，那么()()f x h x |2） 如果()()h x f x |，()()h x g x |，那么()()()()h x f x g x |±3） 如果()()h x f x |，那么对于[]f x 中的任意多项式()g x 来说，()()()h x f x g x | 4） 果()(),1,2,3,,,i h x f x i t |=L 那么对于[]f x 中任意()1,2,3,,,i g x i t ,=L ()()()()()()()()1212i i h x f x g x f x g x f x g x |±±±L 5） 次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。

6） 每一个多项式()f x 都能被()cf x 整除，这里c 是F 中任意一个不等于零的数。

7） 如果()()f x g x |，()()g x f x |，那么()()f x cg x =，这里c 是F 中的一个不等于零的数设()f x ，()g x 是两个任意的多项式，并且()0g x ≠。

那么()f x 可以写成以下形式()()()()f x g x q x r x =+，这里()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数。

定理2.2.1 设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，并且()0g x ≠。

那么在[]f x 中可以找到多项式()q x 和()r x ，使（3）()()()()f xg x q x r x =+这里或者()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数，满足以上条件的多项式()()q x r x 和只有一对。

设数域F 含有数域F 而()f x 和()g x 是[]f x 的两个多项式，如果在[]f x 里()g x 不能整除()f x ，那么在[]F x 里()g x 也不能整除()f x 。

1） 定义1 假定()h x 是()f x 和()g x 的任一公因式，那么由()()()()()()()()()()()32112111,,k k k k k k k k k k r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x -------+=+=+=中的第一个等式，()h x 也一定能整除()1r x 。

同理，由第二个等式，()h x 也一定能整除()2r x 。

如此逐步推下去，最后得出()h x 能整除()k r x ，这样，()k r x 的确是()f x 和()g x 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。

定义 2 设以()g x x a =-除()1110nn n n f x a x a xa x a --=++++L 时，所得的商()121210n n n n q x b x b x b x b ----=++++L 及余式()0r x c =，比较()()()()f xg x q x r x =+两端同次幂的系数得1n n b a -=，211n n n b a ab ---=+，…011b a ab =+，000c a ab =+，这种计算可以排成以下格式()120112112300))))n n nn n n n n n a a a a a aab ab ab ab b a b b b c -------++++=∣L L L用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。

2.3 多项式的最大公因式设F 是一个数域。

[]f x 是F 上一元多项式环定义1 令设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，若是[]f x 的一个多项式()h x 同时整除()f x 和()g x ，那么()h x 叫作()f x 与()g x 的一个公因式。

定义2 设()d x 是多项式()f x 与()g x 的一个公因式。

若是()d x 能被()f x 与()g x 的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()f x 与()g x 的一个最大公因式。

定理2.3.1 []f x 的任意两个多项式()f x 与()g x 一定有最大公因式。

除一个零次因式外，()f x 与()g x 的最大公因式是唯一确定的，这就说，若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，那么数域F 的任何一个不为零的数c 与()d x 的乘积c ()d x 也是()f x 与()g x 的一个最大公因式；而且当()f x 与()g x 不完全为零时，只有这样的乘积才是()f x 与()g x 的最大公因式。

从数域F 过度渡到数域F 时，()f x 与()g x 的最大公因式本质上没有改变。

定理2.3.2 若()d x 是[]f x 的多项式()f x 与()g x 的最大公因式，那么在[]f x 里可以求得多项式()()u x x 和v ，使以下等式成立： （2）()()()()()f x u x g x x d x +v =。

注意：定理2.3.2的逆命题不成立。

例如，令()(),f x x g x x ==+1，那么以下等式成立：()()()22221x x x x x x ++=+-+1-1但2221x x +-显然不是()f x 与()g x 的最大公因。

定义3 如果[]f x 的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。

定理2.3.3 []f x 的两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是：在[]f x 中可以求得多项式()()u x x 和v ，使（4） ()()()()1f x u x g x x +v =从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：若多项式()f x 与()g x 都与多项式()h x 互素，那么乘积()()f x g x 也与()h x 互素。

若多项式()h x 整除多项式()f x 与()g x 的乘积，而()h x 与()f x 互素，那么()h x 一定整除()g x 。

2） 若多项式()g x 与()h x 都整除多项式()f x ，而()g x 与()h x 互素，那么乘积()()g x h x 也整除()f x最大公因式的定义可以推广到()2n n >个多项式的情形：若是多项式()h x 整除多多项式()()()12,,,n f x f x f x L 中的每一个，那么()h x 叫作这n 个多项式的一个公因式。

若是()()()12,,,n f x f x f x L 的公因式()d x 能被这n 个多项式的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()()()12,,,n f x f x f x L 的一个最大公因式。

若()0d x 是多项式()()()121,,,n f x f x f x -L 的一个最大公因式，那么()0d x 是多项式()n f x 的最大公因式也是多项式()()()121,,,n f x f x f x -L 的最大公因式。

若多项式()()()12,,,n f x f x f x L 除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。

2.4 多项式的分解定义1 []f x 的任何一个多项式()f x ，那么F 的任何不为零的元素c 都是()f x 的因式，另一方面，c 与()f x 的乘积c ()f x 也总是()f x 的因式。

我们把()f x 这样的因式叫作它的平凡因式，定义2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式。

若是()f x 在[]f x 只有平凡因式，()f x 说是在数域F 上（或在[]f x 中）不可约。