学习必备 欢迎下载 理 数 圆锥曲线

1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则学习必备 欢迎下载 cos∠AF2F1=( )

A. B. C. D. [答案] 1.A

[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2

|=4a,

∴cos∠AF2F1===.故选A. 2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )

A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 [答案] 2.A [解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.

3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.3 [答案] 3.B 学习必备 欢迎下载 [解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,

于是 ∴m·n=··⇒m=3n. ∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B. 4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 [答案] 4.A [解析] 4.∵00,25-k>0.

∴-=1与-=1均表示双曲线, 又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9, ∴它们的焦距相等,故选A.

5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( ) A.5 B.+ C.7+ D.6 [答案] 5.D [解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 则|MQ|= 学习必备 欢迎下载 =

=

=≤5, 故|PQ|max

=5+=6.

6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1

与C2的离心率之积为,则C2

的渐近线方程为( )

A.x±y=0B.x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0 [答案] 6.A

[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.

故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0. 7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )

A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 学习必备 欢迎下载 [答案] 7.A

[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1. 8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（ ）

A． B． C． D． [答案] 8. B [解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为， 在抛物线方程中，令可得，即 从而可得，， 因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点， 所以直线的方程为， 故选B．

9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ）

A. B. C. D. [答案] 9. D 学习必备 欢迎下载 [解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.

10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.

[答案] 10. [解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①, +=1②. ①、②两式相减并整理得=-·. 把已知条件代入上式得,-=-×, ∴=,故椭圆的离心率e==. 11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________. [答案] 11.1+ [解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b, 故C,F, 又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点, 学习必备 欢迎下载 从而有即

∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0, 又>1, ∴=1+. 12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.

[答案] 12.x2+y2=1 [解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,00). 又∵|AF1|=3|F1

B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又

c2=1-b2,∴b2=.

故椭圆E的方程为x2+y2=1.

13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

[答案] 13. [解析] 13.由得A, 由得B, 则线段AB的中点为M. 由题意得PM⊥AB,∴kPM

=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.

14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________. 学习必备 欢迎下载 [答案] 14. y=3

[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.

15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

(Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

[答案] 15.查看解析 [解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0

=+.

由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x.(5分) (Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2

=-4.

故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4

=-4(2m2+3). 学习必备 欢迎下载 故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4

|=.(10分)

由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4(m2+1)2++=. 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分) 16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q. (i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点); (ii)当最小时,求点T的坐标. [答案] 16.查看解析 [解析] 16.(Ⅰ)由已知可得 解得a2=6,b2=2, 所以椭圆C的标准方程是+=1. (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m). 则直线TF的斜率kTF

==-m.

当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ

=,直线PQ的方程是x=my-2.

当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.