2013年中山大学数学分析考研真题
科目代码：662 时间：2013年
一、（24分）计算下列极限：
)(i 设,)(1)2(1)1(1222n n n n n n x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+= 求.lim n n x ∞→
)(ii ),(lim 1112+∞→-n n n x x n 其中.0>x
)(iii ,1lim 1
d d m d i d
m m d m i +-∑+=∞→其中.0>d
二、（20分）)(i 叙述数列{}n a 收敛的柯西收敛准则并证明之.
)(ii 用柯西收敛准则证明：数列.ln 13ln 312ln 21n n a n +++= 趋于无穷大.
三、（20分）证明)(i x x f sin )(=在),0[∞上一致连续.)(ii 2sin )(x x g =在
),0[∞上不一致连续.
四、（16分）设),,2,1(2
1,1211 =+-=-=+n x x x n n 证明n n x ∞→lim 存在.
五、（10分）设,,2,1,0 =>n a n 证明.1)11(lim 1≥-++∞→n
n n a a n
六、（10分）设,10<<x 求∑∞
=-=12)1()(k k k x x x S 的极值.
七、（10分）计算,)()(22⎰+--+C y
x dy y x dx y x 其中C 是一条从)0,1(-到)0,1(不经过原点的光滑曲线：.11),(≤≤-=x x f y
八、（12分）计算⎰⎰++S xydzdx zxdydz yzdxdy ,其中S 是由,122=+y x 三个坐
标平面及222y x z --=所围立体图形在第一卦限的外侧.
九、（12分）讨论级数∑
∞==11sin k k kx 在[]π2,0上的一致收敛性.
十、（16分）)(i 分别将函数2
)(x
x f -=π和⎩⎨⎧≤<-≤≤-=πππx x x x x g 1,10,)1()(在[]π，0按正弦)(Fourier 级数展开；)(ii 证明.)sin (sin 211∑∑∞=∞==n n n n n n。