第9章典型习题解析1.某危险点的应力状态如图所示,试按四个强度理论建立强度条件.解：由图知,,0,ττσσσ===x y x ，单元体的最大和最小主应力为22122τσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 02=σ22322τσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= []σστσσ≤++=2421221r[]στσμσμσ≤+++-=22242121r当30.=μ时[]στσσσ≤++=2224650350..r []στσσ≤+=2234r[]στσσ≤+=2243r2.图所示的两个单元体，已知正应力σ =165MPa ，切应力τ=110MPa 。

试求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。

解：（1）图（a ）所示单元体的为空间应力状态。

注意到外法线为y 及－y 的两个界面上没有切应力，因而y 方向是一个主方向，σ是主应力。

显然，主应力σ 对与y 轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在xoz 坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。

外法线为x 、z 轴两对平面上只有切应力τ，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为τ,则图（a ）所示单元体的三个主应力为：τστσσσ-===321、、,第三强度理论的相当应力为()eq313165110275a σσσστ=-=+=+=MPa第四强度理论的相当应力为：()()()222()eq412233112a σσσσσσσ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()()22212σττττσ⎡⎤=-+++--⎣⎦ ()()()22211651102110110165252.02⎡⎤=-+⨯+--=⎣⎦ MPa(2)图9.1(b)所示单元体,其主应力为第三强度理论的相当应力为：()eq31322055275b σσσ=-=+=MPa第四强度理论的相当应力为：()()()222()eq412233112a σσσσσσσ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 1222223220.01141651654110,55.022σσστσσ⎡⎤⎡⎤=±+=±+⨯==⎣⎦⎣⎦-a a 220MP 55MP -252.0==MPa3.一岩石试件的抗压强度为[]σ=14OMPa,E=55GPa, μ=0.25, 承受三向压缩。

己知试件破坏时的两个主应力分别为1σ=-1.4MPa 和2σ= -2.8MPa ，试根据第四强度理论推算这时的另一个方向的主应力为多少？解：设另一个方向的主应力为σ,则根据第四强度理论可得[]4σσ=≤228.4639188.240σ+-=解得138MPa σ=-所以,另一个方向的主应力为-138MPa.4.薄壁圆筒容器,筒壁材料处于二向应力状态,按第三强度理论建立的强度条件是什么? 解：第一强度理论认为最大拉应力1σ是引起材料脆性断裂破坏的主要因素,这一理论强度条件为[]11r σσσ=≤;第二强度理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素,其强度条件为()[]1123r σσμσσσ=-+≤;第三强度理论认为最大切应力max τ是引起材料塑性屈服破坏的主要因素,其强度条件为 []313r σσσσ=-≤;第四强度理论认为另外的两个主应力也影响材料的塑性屈服,其强度条件[]4r σσ=≤； 其中,可以直接根据破坏情况不同,来选择强度理论,例如铸铁,砖石与混凝土一类塑性材料,一般发生脆性断裂破坏,通常采用第一强度理论;而钢材一类塑性材料的破坏形态多为塑性屈服通常采用第二或第四强度理论。

5.图示的薄壁圆筒受最大内压时,测得εx =1.88⨯10-4, εy =7.37⨯10-4,已知钢的E=210GPa ，[σ]=170MPa,泊松比μ=0.3，试用第三强度理论校核其强度。

解：由广义虎克定律得所以 123183.1MPa ,94.4MPa ,0σ=σ=σ= 用第三强度理论 []r313a183.1MP σ=σ-σ=σ因为[][]r300181.31707.7170σ-σ-==σ所以，此容器不满足第三强度理论，不安全。

6.试用第三强度理论分析图所示四种应力状态中哪种最危险 (应力单位为 MPa)。

=+-=)(12x y y E μεεμσMPa 1.18310)88.13.037.7(3.011.272=⨯⨯+-=+-=)(12y x x E μεεμσMPa 4.9410)37.73.088.1(3.011.272=⨯⨯+-A解：（a ） 三个主应力 12390MPa,30MPa,10MPa σ=σ=σ= 按第三强度理论 1380MPa σ-σ=(b) 12390MPa,0,10MPa σ=σ=σ=- 13100MPa σ-σ=(c) 1290MPa,90MPa,0σ=σ=σ=1390MPa σ-σ=(d)12390MPa,0σ=σ=σ=1390MPa σ-σ= 所以,四种应力状态中(b)危险。

7.一脆性材料制成的圆管 , 内径 d=0.lm, 外径 D=0.15m, 承受扭矩 Mn=70kN ·m, 轴向压力 P 。

如材料的拉伸强度极限为 10OMPa, 压缩强度极限为 25OMPa, 试用第一强度理论确定圆管破坏时的最大压力 P 。

解：在扭矩的作用下,圆管产生扭转,横截面上的最大切应力为()MPad W M p n 13211611070433max =-⨯==απτ 在轴向压力作用下, 横截面上的应力 AP x -=σ主应力[]12xσσσ=+≤即1002xσ+≤所以MPa x 24.74-≤σ , ()kN d D A P x 5.7284124.7422=-⨯=≤πσ8.如图所示,在船舶螺旋桨轴的 F-F 截面上,由于主机扭矩引起的切应力 τ=14.9MPa, 由推力引起的压应力 σ‘x=-4.2MPa, 由螺旋桨等重力引起的最大弯曲正应力'x σ= 士22MPa ,试求截面 F-F 上危险点 C 的主应力大小及其方位,并求出最大切应力。

若轴的材料许用应力 [σ]=10OMPa, 试按第三强度理论校核该轴的强度。

解：根据题意可知, x y 4.22226.2MPa,0σ=--=-σ=,x 14.9MPaτ=1、主应力MPa x x x74.69.141.131.132222221=++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=τσσσMPa x x x94.328.191.1322223-=--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τσσσ , 20σ=设最大主应力方位角为ϕ,即2214.92 1.1426.2x x y tg τϕσσ⨯=-=-=--2ϕ是第三象限的角,即2228.7,114ϕ=︒ϕ=︒最大切应力 ()MPa 84.192131max =-=σστ 2、按第三强度理论校核 ()[]MPa MPa 10068.3931=≤=-σσσ 强度满足。

9.如图所示,已知MPaMPa x y x 80,40-==-=σττ。

(1)画出单元体的主平面,并求出主应力; (2)画出切应力为极值的单元体上的应力;(3)若材料是低碳钢,试按第三、四强度理论计算单元体的相当应力。

解：(1)主应力MPax x56.166.5628022221=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛+=τσσσ MPa x x6.966.5628022223-=--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τσσσ所以 12316.56MPa ,0,96.56MPa σ=σ=σ=- 最大主应力方位240tg2180-⨯ϕ==-2ϕ是第三象限的角,即2225,112.5ϕ=︒ϕ=︒（2）最大切应力 ()()MPa 6.5626.9656.162121max =--=-=σστ 与最大主应力作用面之夹角为45︒，参看下图。

xτyτ(3) 按第三强度理论计算得单元体的相当应力为[]()MPa 2.1136.9656.1631=--=-=σσσ按第四强度理论计算得单元体的相当应力为[]()()()MPa 9.1052213232221=-+-+-=σσσσσσσ10.有一发生弯扭组合变形的圆轴,已知其弯矩和扭矩数值相同,M=80ON ·m, 材料的许用应力 [σ]=90MPa 。

试按第三和第四强度理论计算其直径,并比较这两个直径相差多少?解： t t 33Z p M 16M M 32M,W d W d σ==τ==ππ根据第三强度理论得:[]σππτστ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+233221643242d M d M根据第四强度理论得:[]σππτστ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+232322163323d M d M将题中已知条件代入得，两个直径相差:5.04-4.93=0.11cm。