第二章 函数一．基础题组1. 【2017高考上海，8】定义在()0,+∞ 上的函数()y f x = 的反函数()1y fx -= .若()()31,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩ 为奇函数，则()12f x -= 的解为 . 【答案】89x =2. 【2016高考上海理数】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列 判断正确的是（ ）.（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 试题分析： 因为[()g()][()()][g()()]()2f x x f x h x x h x f x +++-+=，所以[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)](+)2f x T x T f x T h x T x T h x T f x T +++-+=,又()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，所以[()g()][()()][g()()](+)=()2f x x f x h x x h x f x T f x +++-+=，所以()f x 是周期为T 的函数，同理可得()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，②正确；()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不正确.选D. 【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2015高考上海理数】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+==⇒=⇒-=⇒= 【考点定位】解指对数不等式【名师点睛】对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．求解与指对数有关的复合方程问题，首先要熟知指对数式的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层方程相关的问题加以解决． 4. 【2015高考上海理数】设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．【答案】【考点定位】反函数性质【名师点睛】反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.5. 【2015高考上海理数】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【考点定位】不等式性质【名师点睛】不等式的基本性质:同向同正可乘性0a b ac bd c d >>⎧⇒>⎨>>⎩,可推：00a b a bc d d c>>⎧⇒>⎨>>⎩一元二次方程有解的充要性：0∆≥；一元二次方程无解的充要性：0∆<；利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 6、【2015高考上海文数】设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-【解析】因为)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，212=+x x ，解得32-=x ，所以32)2(1-=-f .【考点定位】反函数，函数的值.【名师点睛】点),(b a 在原函数的图象上，在点),(a b 必在反函数的图象上.两个函数互为反函数，则图象关于直线x y =对称.7. 【2014上海,理4】设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则的取值范围为_____________.【答案】(,2]-∞【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2()f x x =，满足(2)4f =. 【考点】分段函数.8. 【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的取值范围是 . 【答案】(0,1)【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 【考点】幂函数的性质.9. 【2014上海,文3】设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3【解析】由题意(2)121f a =+-=，则2a =，所以(1)11143f =-+-=. 【考点】函数的定义.10. 【2014上海,文9】设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则的取值范围是 . 【答案】(,2]-∞【考点】函数的最值问题.. 11. 【2013上海,理6】方程31313x+-＝3x －1的实数解为______． 【答案】log 34【解析】原方程整理后变为32x－2·3x－8＝0⇒3x＝4⇒x ＝log 34.12. 【2013上海,理12】设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋2a x＋7.若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．【答案】(－∞，87-]【解析】f(0)＝0，故0≥a＋1⇒a≤－1；当x＞0时，f(x)＝9x＋2ax－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，又a≤－1，故a≤87 -.13. 【2013上海,理14】对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)＝{y|y＝g(x)，x∈I}．已知定义域为0,3]的函数y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，且f－1(0,1))＝1,2)，f－1((2,4])＝0,1)．若方程f(x)－x＝0有解x0，则x0＝______.【答案】214. 【2013上海,文8】方程9131x+-＝3x的实数解为______．【答案】log34【解析】931x-＋1＝3x⇒931x-＝3x－1⇒3x－1＝±3⇒3x＝±3＋1＞0⇒3x＝4⇒x＝log34.15. 【2013上海,文15】函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x)，则f－1(2)的值是( )AB．C．D．1【答案】A【解析】由反函数的定义可知，x≥0,2＝f(x)＝x2－1⇒xA.16. 【2012上海,理7】已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．【答案】(－∞，1]【解析】e()ex aa xx af xx a--⎧>=⎨<⎩，，，，当x＞a时f(x)单调递增，当x＜a时，f(x)单调递减，又f(x)在1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.17. 【2012上海,理9】已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________.【答案】－1【解析】令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.18. 【2012上海,文6】方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．【答案】log23【解析】原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23.19. 【2012上海,文9】已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.【答案】3【解析】由g (1)＝f (1)＋2＝1，得f (1)＝－1. 由f (x )为奇函数得f (－1)＝1. 所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.20. 【2012上海,文13】已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，1)，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________． 【答案】14【解析】由题意知12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则2212,0,2()122,1,2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩设所求面积为S ，则S 如图中阴影部分所示．所以，11222102=2d (22)d S x x x x x +⎰⎰－＋＝3322122111()(1)[()()]3233224⨯+-+--⨯+=. 21. 【2011上海,理1】函数1()2f x x =-的反函数为f －1(x )＝______. 【答案】1+2x【解析】22. 【2011上海,理13】设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间3,4]上的值域－2,5]，则f (x )在区间－10,10]上的值域为______． 【答案】－15,11] 【解析】23. 【2011上海,理16】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A．1ln||yx= B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝cos x【答案】A【解析】24. 【2011上海,文3】若函数f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________.【答案】3 2 -【解析】25. 【2011上海,文14】设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数．若函数f(x)＝x＋g(x)在区间0,1]上的值域为－2,5]，则f(x)在区间0,3]上的值域为________．【答案】－2,7]【解析】26. 【2011上海,文15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．13y x =【答案】A 【解析】27. 【2010上海,理8】对任意不等于1的正数，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ； 【答案】)2,0(-【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线y x =对称.28. 【2010上海,理17】若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间答]（）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（31,0） 【答案】C【解析】13311()()22x x x x =⇔=，设31()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1111()03236f =-=>，321111()02222f ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，所以011,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，选C. 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键. 29. 【2010上海,文9】 函数f (x )＝log 3(x ＋3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是________． 【答案】 (0，－2)30. 【2010上海,文17】若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间 …( ) A ．(0,1) B ．(1,1.25) C ．(1.25,1.75) D ．(1.75,2) 【答案】D【解析】令f (x )＝lg x ＋x －2f (1)＝lg1＋1－2＝－1＜0 f (2)＝lg2＋2－2＝lg2＞0f (1.5)＝lg1.5＋1.5－2＝lg1.5－0.5＝lg1.5－lg100.5＝lg1＝0 f (1.75)＝lg1.75＋1.75－2＝lg1.75－0.25＝lg1.75＜lg1＝0.∴f (1.75)·f (2)＜0，∴x 0∈(1.75,2)．31. 【2010上海,文19】已知0＜x ＜2π，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 22x )＋x－4π)]－lg(1＋sin2x )．【答案】0【解析】原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(1＋sin2x)＝lg2 (sin cos)1sin2x xx++＝lg 1sin21sin2xx++＝0.32. 【2010上海,文22】若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2(3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sin x和1－sin x中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．【答案】(1) (－2,2); (2)参考解析; (3)参考解析又a2b＋ab2＞2a3＋b3＞a2b＋ab2＞20，于是，|a2b＋ab2－2＜|a3＋b3－2，∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2(3)解：由|1－sin x|＜|1＋sin x|得1－sin x＜1＋sin x，即sin x＞0，则2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)；同理，若|1＋sin x|＜|1－sin x|，则2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π(k∈Z)．于是，函数f(x)的解析式是f(x)＝1sin,22()1sin,222() x k x k k Zx k x k k Zπππππππ-<<+∈⎧⎨++<<+∈⎩函数f(x)的大致图像如下：函数f (x )的最小正周期T ＝π. 函数f (x )是偶函数．当x ＝k π＋2π(k ∈Z)时，函数f (x )取得最小值0. 函数f (x )在(k π，k π＋2π](k ∈Z)上单调递减；在k π＋2π，k π＋π)(k ∈Z)上单调递增．33. (2009上海,理20)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有时可用函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6,444,6,ln 151.0)(x x x x xa a x f ∶描述学习某知识的掌握程度.其中x 表示某知识的学习次数(x ∈N *),f(x)表示对该知识的掌握程度,正实数a 与知识有关.(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;(2)根据经验,甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的. 【答案】(1) 参考解析;(2) 乙(2)解：由题意可知85.06ln 151.0=-+a a, 整理得05.06e a a=-, 解得6105.005.0∙-=e e a ≈20.50×6=123.0,123.0∈121,127］. 由此可知,该是乙.34. (2009上海,文1)函数)(x f =x 3+1的反函数f -1(x)=__________. 【答案】31-x【解析】∵x ∈R,∴)(x f ∈R. 由y=x 3+1,得31-=y x .故该函数的反函数为f -1(x)= 31-x ,x ∈R.35. 【2008上海,理4】若函数f (x )的反函数为 f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ .36. 【2008上海,理8】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .37. 【2008上海,理11】方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 .38. 【2008上海,文4】若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ． 【答案】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,y x =()()2.x f x x R ∴=∈39. 【2008上海,文9】若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．【答案】224x -+40. 【2008上海,文11】在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ． 【答案】5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值. 41. 【2008上海,文17】（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．【答案】445 【解析】【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………………4分在CDO ∆中，22022cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分42. 【2007上海,理1】函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____43. 【2007上海,理3】函数()1x f x x =-的反函数()1_____f x -=44．【2007上海,理4】方程96370x x-⋅-=的解是_____45. 【2007上海,文1】方程9131=-x 的解是 . 【答案】1-=x 【解析】46. 【2007上海,文8】某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天.四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ，完成后，D 可以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数最大是 . 【答案】3 【解析】47.【2007上海,文15】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ.若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ.若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立 Ｃ.若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ.若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立 【答案】D 【解析】48.【2007上海,文18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 【答案】（1）2499.8兆瓦;（2）%5.6149.【2007上海,文19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R .（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）10<<x ;（2）参考解析)(x f ∴为偶函数.当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.50. 【2006上海,文22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数.（1）如果函数2(0)by x x x =+>在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求的值. （2）设常数[]1,4c ∈，求函数()(12)cf x x x x =+≤≤的最大值和最小值； （3）当是正整数时，研究函数()(0)nn c g x x c x=+>的单调性，并说明理由.【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）参考解析 【解析】 (1) 由已知得b 2=4, ∴b=4. (2) ∵c ∈1,4], ∴c ∈1,2], 于是,当x=c 时, 函数f(x)=x+xc取得最小值2c . f(1)－f(2)=22-c , 当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+2c ； 当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0<x 1<x 2,g(x 2)－g(x 1)=)1)((21121122n n nn n n n nx x c x x x c x x c x --=--+. 当n c 2<x 1<x 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在n c 2,+∞)上是增函数； 当0<x 1<x 2<n c 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在(0, n c 2]上是减函数. 当n 是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x) 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在－n a 2,0)上是减函数. 当n 是偶数时, g(x)是偶函数,函数g(x)在(－∞,－n a 2)上是减函数, 在－n a 2,0]上是增函数. 51. 【2005上海,理1】函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【答案】14-x52. 【2005上海,理2】方程0224=-+xx 的解是__________【答案】x=0【解析】0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x xxxxx53. 【2005上海,理10】函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________ 【答案】31<<k 【解析】[][]πππ2,,sin ,0,sin 3)(∈-∈=x x x x x f从图象可以看出直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k 54. 【2005上海,理13】若函数121)(+=xx f ，则该 函数在()+∞∞-,上是（ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值 【答案】A55. 【2005上海,理16】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c 【答案】C【解析】没有实数解个不同实数解有个不同实数解有,0)3(3,0)2(4,0)1()(<=>=a a a a x f0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02=++c bx x 有两个根，一个等于0，一个大于0。