解：二项式的展开式的通项公式为:‘ 2n 3rc r丄 >r~4~ C n r X 2前三项的r 0,1,2.得系数为: t 1 1,t 22 2n,t3 c ：2 28n(n 1)，由已知：2t 2 t 1 t 3 n 1(n1)，••• n 816 3r通项公式为Tr1C8P 「01,28,T r 1为有理项，故163r 是4的倍数,81 2 1 2C g -8 xx • 28256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类• r 0,4,8.依次得到有理项为T iX4,T 5 C 8^4X ^^X ,T 9 2 8 似地，(■： 2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四310R1 6例4( 1 )求(1 X) (1 X)展开式中X 的系数；(2)求(X 2)展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.(1)可以解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:用(1 X)3展开式中的常数项乘以 (1 X)10展开式中的 X 5项，可以得到C 10X 5 ； 用 (1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X 4项可得到(3x)(C ：o X 4)3C 4°X 5 ；3210用(1 X)中的X 乘以(1 X)展开式中的3 2 x 可得到3x33 3 5 mC 10X3C 10X ；用 (1 3X)中的X 3项乘以 (1 X)10展开式中的X2项可得到C 32 23x C 10 xC 20X 5，合并同类项得 X 5 项为:(C 0C 4。
3C 3。
C 0)X 563X 5 .(2)(X121X •由X1x12展开式的通项公式T r' 2)12C12X6 r，可得展开式的常数项为 C ：2 924二项式定理典型例题典型例题一n例1在二项式 x 1的展开式中前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项.分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五例5 求(1 X 2 6 5X ）展开式中X 5的系数.分析 :(1 X2X 1 O ）不是二二项式，我们通过1 2X X(1 X) X 2 或1 (XX ）展开解: 方法一： (1 X X 2 )6(1X26x) X(1 X 6)6(1 x)5x 2 15(1 4 4x) X其中含X 5的项为 C ：x 5 6C ；x 5 15C 14X 5 6x 5 .含 x 5项的系数为 6.方法一二: (1 X 2\6X )1 (X2、6X )1 6(x x 2) 15(x2、22、3x ) 20(x x )15(x x 2 )46(x x2\5/)(x6X )5555其中含X 5的项为20( 3)x 15( 4)x 6x 6x .二x 5项的系数为6.方法3:本题还可通过把（1 xX 2）6看成6个1 xX 2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项， x 5项可由下列几种可能得到. 5个因式中取x , —个取1得到C 6x 5.31323个因式中取x , —个取 x 2，两个取1得到C 6 C 3X （ x ）. 1个因式中取X ,两个取 x 2，三个取1得到C 6 C 5x （ x ） •合并同类项为（C ； c l c ； C6C 5）X 5 6x 5, X 5项的系数为6•典型例题六例 6 求证：（1） Cn 2C ： nV n 2n 1 ；（2）c o [c n 垃丄c n 丄⑵1 1）•2 3 n 1 n 1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式1 2C n C n C n2n.解: (1)n! n!k -k!(n k)! (k 1)!( n k)!(n 1)!(k 1)!(n k)!nc n•••左边nC：1 n c n 1nc n1n(C01 C；1 c n 1) n 2n 1右边.将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求22C 10 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与10 10 0 1 2 2(1 2)10的展开式接近，但要注意：(12) C W C 10 2 C 10 2从而可以得到：10 2C W28C ；O FC尹 1)•典型例题七例7利用二项式定理证明:32n 2 8n 9是64的倍数.32n 2 8n 9是82的倍数，为了使问题向二项说明：禾U 用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题, 复杂的指数式除以一个数的余数.典型例题八1 2 10 22C 20 29C ；O 210C 1012(10 2C 2O 28C 9O29C 10)式定理贴近，变形 32n2 9n1 (8 1)n 将其展开后各项含有 8k ，与82的倍数联系起来.解：•/ 32n 2 8n 9n18nn 1(8 1) 8n 8n1C n8n c n 1 82 c n8n1 C n 18n c n 1 82 8(n1) 1 8 n 98n1 c n 1 8nc n 1 82(8n18nn 1C n 1)64是64的倍数.例8展开2x3 52x 2•分析1:用二项式定理展开式. 解法1：2x 32x 2C 50(2x)5314C 5(2x)4323药C 5(2x)23 2 x 2n! n! k!(n(k k)!(n 1)! (k 1)!( n k)!1 k 1 c n 1•n 1_c n 1C n 1 n 11C 1nn 1 丄Cn1n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质•••左边 n 1C 2 c ：1c n 1)(2n 1 1)右边.29C 10 28C：O 27C ；OC O 29 C 10 210分析：64是8的平方，问题相当于证明而且可以用此方程求一些180 135 405243 ~x ~x^ ~8x r 32x 10分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2:53 53 (4x 3) 1rc0/‘ 3、5 小1/‘ 3、4/ 小2/‘ 3、3/22x10C 5(4) C 5(4 ) ( 3) C 5(4 ) ( 3)C/(4x 3)2( 3)3 C 54(4x 3)1( 3)4 C/( 3)5]180 135 405 243f 炭 32x 10说明：记准、记熟二项式（a b ）n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件•对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.典型例题九例9 若将（x y 1 z ）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（A • 11B • 33C . 55D • 66分析 :(x y 10 z ）看作二项式 10[(x y) z]展开.解: 我们把xy z 看成（x y ） z ，按二项式展开，共有 11 “项”，即(x ioy z)[(x 10y) z]10k 10 k kC io (x y) z •k 0这时，由于“和”中各项 z 的指数各不相同，因此再将各个二项式 （x y ）10 k 展开，不同的乘积C 10（x y ）10 k z k （ k 0,1 ,,10 ）展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积 C 1'0（x y ）10 k z k （ k 0,1,, 10） •其中每一个乘积展开后的项数由（x y ）10 k 决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同,也不会出现同类项•故原式展开后的总项数为11 10 9 1 66 ,•••应选D •典型例题十3Cd)2 /c ；(2x)2x 2C ；32x 5 120x 2 132x 10(1024x 15 3840x 12 5760x 9 4320x 6 1620x 3 2437)32x 5 120x 2 1例10若x -n2 的展开式的常数项为 20,求 n •2n1--- ，其通项为典型例题十二解：设连续三项是第k 、k 1、k 2项（k N 且k 1），则有C ：1：。
：：。
：1 1：2：3,------------------------------------1：2：3 •::—— :——即 ----- n! ------------ :—-— :---------- ----------------1：2：3.2n分析：题中x 0，当x 0时，把xx 1；当 x 0(x时，同理1)n然后写出通项，令含 x 的幕指数为零，解出 n .解:T r 1C ；nC.X )2n r ( 1)r C ；nC 、X )2n 2r，令2n •••展开式的常数项为（1）n C ；n ；当x 0时，x n1 2x2n1 x同理可得，展开式的常数项为1）n C 2n .无论哪一种情况, 常数项均为 (1)4 .令（1）©20，以 n1,2,3,，逐个代入，得n典型例题十例11101 — 的展开式的第3项小于第4项，则x-x的取值范围是分析: 首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.解: x10有意义必须23x 0 ；依题意有 T 3 T 4 即 C fo^'X )8 丄G 3o&x )7 [3x3 x10 9 8 3 2 11启(••• x 0).解得0v x85648 .9• x 的取值范围是 x 0x 冷8..••应填:85 648.例 12 已知(x log 2x 1)n 的展开式中有连续三项的系数之比为1 ：2 ： 3，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值.n!n!(k 1)(n k 1)! k!(n k)! (k 1)(n k 1)! (n k)(n k 1) k (n k) k(k 1)k(n k)1 k 1• (n k)( n k 1)2n k 1 2k(k 1) 2 (k 1) 2k (n k)3(n k)3n14 , k 5所求连续三项为第 5、 6、7三项. 又由已知， C 1143x log 2X 112 .即lOg 2 XX28两边取以 2为底的对数，(gx)23 , log 2 X3 , • X 2“，或 X 2 ".说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项, 根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.典型例题十三例13(1 2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出 n ,再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项. 解：T 6 C ；(2X )5 , T 7 C ：(2X )6，依题意有 C ；25 C ：26 n 8.••• r 5 或 r 6(：r 0,1,2, ,8).二系娄最大的项为：T 6 1792x 5, T 7 1792x 6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负 变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十四例14设f (X )(1 x)m (1 x)n (m,n N )，若其展开式中关于 X 的一次项的系数和为11,问m,n 为何值时，含X 2项的系数取最小值？并求这个最小值.二(1 2X )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5 C 84(2X )41 120X 4 .设第r 1项系数最大，则有分析：根据条件得到X2的系数关于n的二次表达式, 然后用二次函数性质探讨最小值.解: c m C1 110 2mn2 m 11. C i C：丄(m211 211n 55 (n )22994n)2 2m n 112 6或5时，x2项系数最小，最小值为25 .说明：二次函数y (X 11)2 99的对称轴方程为x -1，即x 5.5，由于5、6距5.52 4 211 299等距离，且对n N , 5、6距5.5最近，所以(n —)2的最小值在n 5或n 6处2 4取得.典型例题十五例15若(3x1)77a7x6a6X a〔x a o,求(1)a1 a2a7 ; (2)a1 a3 a5 a7; (3) a o a2a4 a6.解: (1)令x0，则a。