J
1.58 108 ( A / m2 )
t r1mm
r 1m m
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：dQ I 3.97A
dt
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0, H D
t)
E(
z,
t)
H
(
z,
t)
ez
k E02
0
cos2
(t
kz)
(3) 平均坡印廷矢量：
Sav
1 2
Re[E(z)
H
*(z)]
1 2
Reey
E0e
jkz
ex
k E0
0
e
jkz
*
1 2
Reez
k E02
0
ez
1 2
k E02
0
例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为
求：(1)磁场Ev 强 ev度yE；0 （co2s）(瞬t 时kz坡) 印(V廷/ m矢)量；（3）平均
)
S
]
0
例 设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1, μr1=1, σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒
质参数εr2=6, μr2=20, σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为 E1 ex[60 cos(15 108t 5z) 20 cos(15 108t 5z)](V / m)
区域Ⅱ中的电场强度为 E2 ex A cos(15 108t 5z)(V / m)
A 80V / m
(2) 根据麦克斯韦方程
有
E1
1
H1 t
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
1
[300 s in(15 108 t
5z)
100 s in(15 108 t
5z)]
所以
H1 ey[0.1592 cos(15108t 5z) 0.0531 cos(15108t 5z)](A/ m)
解： 根据麦克斯韦方程
H J D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
S
Jc
D t
dS
( H ) dS
S
( H ) dS S
( H )dV
V
0
S
Jc
D t
dS
Ic
Id
I
例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
J er10r1.5 ( A / m2 )
解：如图一段长度为l的长直导线， 其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直 流电流将均匀分布在导线的横截面 上，于是有
坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
H
e
I
2b
因此，导线表面的坡印廷矢量
S
E
H
er
I2
2 2b3
其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有
S dS
有
t
( B1n
B2n
)
t
[n
( B1
B2 )]
0
从而有
n (B1 B2 ) C(常数)
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n (B1 B2 ) 0,即B1矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
开取其中的法向分量，有
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的
电场为E0sinωt，铜的电导率σ=6.8×107S/m, ε≈ε0。
铜中的传导电流大小为
解：
Jc E E0 sint
Jd
D t
E t
E0 cost
Jd Jc
2f 1 109 36
5.8 107
9.6 1019
f
例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
E
U r1n
b
er , H
I
2r
e (a
r
b)
a
UI
S E H 2r21n b ez
a
上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过同 轴线内、外导体间任一横截面的功率为
P
S dS'
S'
b a
UI
2r21n
b
2rdr
UI
a
这一结果与电路理论中熟知的结果一致。
例 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。
0 t
t
(t) 0e
例 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z) 其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
即J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sint
z
0
t
(exH x
eyH
常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。
解：
B
A
ey
Ax t
e y k Am
c os (t
kz)
H
ey
k
Am
c os (t
kz)
A 0, C
t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
E
A t
exAm
cos(t
kz)
坡印廷矢量的瞬时值为
S(t) E(t) H (t)
[exAm
ex 2E0 sin cos(kx cos ) sin(t kz sin )
例 已知无源(ρ=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场
E(z) eyE0e jkz
式中k、E0为常数。求：
(V / m)
(1)磁场强度复矢量；
(2)
(3) 平均坡印廷矢量。
解： (1) 由 E j 0H 得
H (z)
1
j0
E(z)
1
j0
ez
z
(ey E0e jkz )
ex
k E0
0
e
jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E(z,t) Re[E(z)e jt ] eyE0 cos(t kz)
H
(z,
t)
Re[
H
( z)e
jt
]
ex
k E0
0
cos(t
k z)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
S(
z,
解：如图一段长度为l的长直导线， 其轴线与圆柱坐标系的z轴重合， 直流电流将均匀分布在导线的横 截面上，于是有
坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
Tv0 v
E(t) H
(t
(t)dt
kz)
T0
kE0
0
cos(t
kz)
evz
kE02
0T
T cos2 (t kz)dt
0
evz
kE02
0T
T cos(2t 2kz) 1
dt
0
2
evz
kE02
20
(W
/
m2 )
例 试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的 长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。
S
S
S
erdS
I2
2 2b3
2bl
I
2
l
b2
I
2R
例 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为
空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间 的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。
解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外
导体间的电场和磁场：
(1) 常数A (2) 磁场强度H1和H2 (3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。
解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有
E1 ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)] ex80 cos(15108t)
E2 ex A cos(15108t)
由于E1和E2恰好为切向电场，
方程。
解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由
麦克斯韦方程有
E
H
t
( E) 2E H
t
( E) 2E E
t
t
所以，电场强度E满足的波动方程为
2E
2E t 2
E t
0
同理，可得磁场强度满足的波动方程为
2E
2H t 2
H t
0
例已知时变电磁场中矢量位 A ex Am sin(t kz) ，其中Am、k是
cos(t
kz)] ey
k
Am
cos(t
kz)
ez
k
Am2
cos(t
kz)
例 已知无源(ρ=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场
的电场
E(z) eyE0e jkz (V / m)
式中k、E0为常数。求：
(1)磁场强度复矢量；
(2)
(3) 平均坡印廷矢量。
解： (1) 由 E j 0H 得
坡印廷矢量
v
解：(1)
v E
B
v
t
B t
v H
evz