《自动控制原理》习题课习题讲解第二章内容1、试建立图示电路各系统的传递函数和微分方程。

解：(a) 应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I cs R cs R s U c r ++= （1）2)()(R s Uc s I =（2）联立式（1）、（2），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U rc 212112)1()()(+++=微分方程为: rr c c u CR dt du u R CR R R dtdu 121211+=++(2) 由图解2-1（d ）可写出[]Cs s I s I s I R s U c R R r 1)()()()(++= （5）)()(1)(s RI s RI Cs s I c R c -= （6）[]Cs s I s I R s I s U c R c c 1)()()()(++= （7）联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和)(s I R ，可得：1312)()(222222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c微分方程为 r r r c c c u R C dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221213++=++2、试建立图示电路各系统的传递函数解：由图可写出s C R s U c 221)(+ = s C R s C R s C R s U r 111112111)(+⋅++ 整理得)()(s U s U r c = 1)(1)(21221122121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R3、试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数)()(s R s C 。

解 （a ）所以： 432132432143211)()(G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++=（b ）所以： H G G G s R s C 2211)()(--=（c ）所以：32132213211)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= （d ）所以：2441321232121413211)()(H G G G G G G H G G H G G G G G G G s R s C ++++++= （e ）所以： 2321212132141)()(H G G H G H G G G G G G s R s C ++++=4、电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。

（1） 若5.0=ξ对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？（2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起博器，问1s 钟后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？解 依题，系统传递函数为2222205.005.0105.0)(n n n s s K s s Ks ωξωω++=++=Φ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯==n n K ωξω205.0105.0 令 5.0=ξ可解出 ⎩⎨⎧==2020nK ω 将 s t 1=代入二阶系统阶跃响应公式()βωξξξω+---=-t e t h n t n 221sin 11)(可得 m in 00145.60000024.1)1(次次==s h5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为m in78.69163.1163.01(次次）==+=s t h p5、 机器人控制系统结构图如图3-50所示。

试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。

解 依题，系统传递函数为222121212112)1()1()1(1)1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωωΦΦ++=+++=++++=由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=≤=--5.0102.0212n p oo t e ωξπσξπξ 联立求解得 ⎩⎨⎧==1078.0nωξ 比较)(s Φ分母系数得⎪⎩⎪⎨⎧=-===146.0121001221K K K n n ξωω6、 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图3-51所示。

试确定系统的闭环传递函数。

解 依题，系统闭环传递函数形式应为2222.)(nn ns s K s ωξωω++=ΦΦ由阶跃响应曲线有：21)(lim )()(lim (0==⋅Φ=Φ=∞Φ→→K s s s s R s s h s s ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-=--o oo o n p e t 25225.221212ξξπσξωπ联立求解得 ⎩⎨⎧==717.1404.0nωξ所以有95.239.19.5717.1717.1404.02717.12)(2222++=+⨯⨯+⨯=Φs s s s s7、 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D （4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 2 11S 4 2 4 10S 3 ε 6S 2 εε124- 10S6S 0 10第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32S 43 24 48S 3 3122434⨯-= 32348316⨯-= 0 S 2 424316412⨯-⨯= 48 S1216448120⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,S 24 辅助方程求导：024=sS 0 48系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(45=--+=s s s s DRouth ： S 5 1 0 -1S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-sS 3 8 0 辅助方程求导 083=sS 2 ε -2S ε16S 0 -2第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224=-s 可解出：))()(1)(1(2224j s j s s s s -+-+=-))()(1)(1)(2(22)(45j s j s s s s s s s s D -+-++=--+=（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s sS 3 8 96 辅助方程求导 09683=+s sS 2 24 -50S 338/3S 0 -50第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出：)5)(5)(1)(1(25048224j s j s s s s s -+-+=-+)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=8、 系统结构图如图3-57所示。

试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为)1()12(10)(2++=s s s s G ∞==∞→)(lim s G K s p ∞==→)(lim 0s sG K s v10)(lim 2==→s G s K s a局部反馈加入后，系统开环传递函数为)20()12(1012011(1012)(2+++=+++⋅+=s s s s s s s s s s G ）（）∞==→)(lim 0s G K s p5.0)(lim 0==→s sG K s v)(lim 2==→s G s K s a9、 已知单位反馈系统的开环传递函数为)22)(4()1(7)(2++++=s s s s s s G 试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2t 时系统的稳态误差[)()()(t c t r t e -=]。

解)22)(4()1(7)(2++++=s s s s s s G ⎩⎨⎧==187v K由静态误差系数法)(1)(t t r =时， 0=ss et t r =)(时， 14.178===K A e ss 2)(t t r =时， ∞=ss e10、单位反馈系统的开环传递函数为)5(25)(+=s s s G求各静态误差系数和25.021)(t t t r ++=时的稳态误差ss e ；解 （1）)5(25)(+=s s s G ⎩⎨⎧==15v K∞=+==→→)5(25lim)(lim 00s s s G K s s p5525lim )(lim 00=+==→→s s G s K s s v525lim )(lim 020=+==→→s ss G s K s s a)(1)(1t t r =时， 0111=+=pss K et t r 2)(2=时，4.0522===v ss K A e 235.0)(t t r =时，∞===013a ss K A e由叠加原理 ∞=++=321ss ss ss ss e e e e11、已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图解 根轨如图解4-2所示：12、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

⑴)15.0)(12.0()(++=s s s Ks G⑵)3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ⑶)12()1()(++=s s s K s G解 ⑴)2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=s s s Ks s s K s G系统有三个开环极点：01=p ,22-=p ,53-=p ① 实轴上的根轨迹： 图解4-2 根轨迹图(]5,-∞-,[]0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(373520k aa ③ 分离点：021511=++++d d d解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(23=+++=k s s s s D令⎩⎨⎧=+-==+-=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨⎧==710k ω与虚轴的交点（0，j 10±）。