tij
两边取对数，得
( Oi D j )
cij
ln tij ln ln( Oi D j ) ln( cij )
t ij
令：
Oi D j
c ij 已知数据
待标定参数

y ln tij
则：
a 0 ln
a1
a 2
x1 ln(Oi D j )
K ij 的计算方法为：
首先令 K ij =1，根据现状OD表标定模型，计算 。
将现状数据代入模型，计算出OD分布。
根据上面的公式计算 K ij 。
假定 K ij 的值在将来不发生变化，预测时不做任何修改而 直接使用。 标定 的方法与乌尔希斯重力模型 相同。
Oi 这两种模型均能满足出行产生约束条件，即： 此都称为单约束重力模型。
以幂指数交通阻抗函数 f (cij ) cij 为例介绍其计算方法：
第1步：令m=0，m为迭代次数；
第2步：给出
m

（可以用最小二乘法求出）；
bm j 1/
第3步：令 ai 1 ，求出 b m ( j
m 1 第4步：求出 a i 和 b
m 1 j
a
i
m i Oi cij
38.6 91.9 36.0 166.5
表5
现状行驶时间
1 7.0 2 17.0 3 22.0
表6
将来行驶时间
1 4.0 2 9.0 3 11.0
c ij
1
c ij
1
2
3
17.0
22.0
15.0
23.0
23.0
7.0
2
3
9.0
11.0
8.0
12.0
12.0
4.0
解：（1）用下面的无约束重力模型：
tij 0.124
( Oi D j )1.173
.455 c1 ij
(2) 第一次计算得到的OD表
O/D 1 2 3 合计 1 88.862 75.542 18.791 183.195 2 72.458 237.912 43.932 354.302 3 18.940 46.164 76.048 141.152 合计 180.260 359.619 138.771 678.650
90.546
37.040
166.812
增长系数
1.0019
0.9973
0.9962
重力计算步骤
（1）根据现状OD调查资料，利用最小二乘法确定参数，将确 定的参数代入模型，得到标定的重力模型——参数标定。（还有 很多其他参数标定的方法）。 （2）利用标定的重力模型计算得到ＯＤ表。 （3）无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代。（例如：增长系 数法等） （4）迭代完成后得到最终的ＯＤ表。
i=3,j=3
17
26
27
702
7
2.8332
6.5539
1.9459
采用最小二乘法对这9个样本数据进行标定，得出
a 0 =-2.084
0.124
a1 =1.173
a 2 =-1.455
y 2.084 1.173x1 1.455x 2
1.173
1.455
标定的重力模型为
表3 现状OD表（单位：万次）
O/D 1 2 3 合计 1 17.0 7.0 4.0 28.0 2 7.0 38.0 5.0 50.0 3 4.0 6.0 17.0 27.0 合计
表4 将来的发生与吸引交通量
O/D 1 2 3 合计 39.3 90.3 36.9 1 2 3 合计
28.0 51.0 26.0 105.0
ln( qij )
2.8332 1.9459
ln(Oi D j )
6.6644 7.2442
x1)
(
ln(c ij )
1.9459 2.8332
) x2
i=1,j=3
i=2,j=1 i=2,j=2
4
7 38
28
51 51
27
28 50
756
1428 2550
22
17 15
1.3863
1.9459 3.6376
重力模型
重力模型法 （Gravity Method）
模拟物理学中的牛顿的万有引力定律
基本假定：交通区i到交通区j的交通分布量 与交通区i的交通量、交通区j的交通吸引量 成正比，与交通区i和j之间的交通阻抗参数 ，如两区中心间交通的距离、时间或费用 等成反比。
无约束重力模型
Casey在1955年提出了如下重力模型，该模型也是最早出现的 重力模型： Pi Pj ij d2
修正重力模型
1. 乌尔希斯重力模型
qij Oi D j f (cij ) /
D f (c )
j ij j
f (cij ) 为交通阻抗函数, 一般形式：
f (cij ) cij
待定系数 根据现状OD调查资料拟和确定，一般可采用 试算法等数值方式，以某一指标作为控制目标，通过用模 型计算和实际调查所得指标的误差比较确定。 的计算过 程如下：
6.6280
7.2640 7.8438
3.0910
2.8332 2.7081
i=2,j=3
i=3,j=1 i=3,j=2
6
4 5
51
26 26
27
28 50
1377
728 1300
23
22 23
1.7918
1.3863 1.6094
7.2277
6.5903 7.1701
3.1355
3.0910 3.1355
b D
j j
j
j
tij
a O f (c
i i i
ai Oi D j f (cij )
ij
)
tij (
i i
a O f (c
i i i
ai Oi D j f (cij )
ij
)
) Dj
a O f (c a O f (c
i i i i i i
ij
) ) Dj
ij
用平均增长系数法第三次迭代计算OD表
O/D 1 2 3 1 17.823 17.127 4.276 2 16.684 62.318 11.544 3 4.438 12.291 20.310 合计 38.946 91.736 36.130 增长系数 0.9911 1.0018 0.9964
合计
39.226
x 2 ln(cij )
y a0 a1 x1 a2 x2
a0,a1,a2为待定系数
通过表3和表5获取9个样本数据
样本点 i=1,j=1 i=1,j=2
qij
17 7
Oi qij D j qij
j
i
Oi D j
784 1400
cij
7 17
（ ）
y
(
28 28
28 50
2. 美国公路局重力模型（B.P.R.模型）
qij Oi D j f (cij ) K ij
D
j
j
f (cij ) K ij
式中， K ij 为调整系数(也叫地域间结合度)，其计算公式为：
Kij (1 Yij )ij 1 Yijij
其中， ij 表示i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之 比； Yij 表示i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行发生量 之比。
1
b j a i Oi f (cij ) i
1
tij
b D
j j
b j Oi D j f (cij )
j
f (cij )
tij (
j j
b D
j j
b j Oi D j f (cij )
j
f (cij )
) Oi
b D
j
j
f (cij ) f (cij ) Oi
)；
；
1 bm 1/ j
aim 1 1 /

i
bm D c j j ij
a
i
m 1 Oi cij i
第5步：收敛判定。若满足收敛条件，则结束计算；反之，令 m+1=m，返回第2步重新计算。
1 aim1 / aim 1
1 bim1 / bim 1
q
ij
Pi Pj 分别表示i小区和j小区的人口(用出行人数代替了总人数)

d ij
表示i，j小区之间的距离 (用出行费用函数 f (cij ) 来表示) 表示参数
模型本身不满足交 通守恒约束条件：
改进的重力模型可表示为：
qij kOi D j f (cij )
常见的交通阻抗函数有以下几种形式：
（3）通过无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代，这里采用平均 1 1 增长系数法进行迭代计算。重新计算 FOi 和 FDj
1 FO 1 U1 / O1 38.6 / 180.260 0.2141
1 FD 1 V1 / D1 39.3 / 183.195 0.2145
1
19.046 17.755 4.453 41.254 0.9526
2
16.992 60.717 11.297 89.005 1.0145
3
4.504 11.933 19.804 36.241 1.0182