一、中考数学压轴题1．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．3．在平面直角坐标系中，抛物线24y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且:3:4∆∆=ABC BCE S S ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．4．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．5．如图，AB ∥CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有一动点P ． （1）如图1，当P 点在EF 的左侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ，如图2，当P 点在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ． （2）如图3，当∠EPF ＝90°，F P 平分∠EFC 时，求证：EP 平分∠AEF ；（3）如图4，QE ，QF 分别平分∠PEB 和∠PFD ，且点P 在EF 左侧．①若∠EPF ＝60°，则∠EQF ＝ ．②猜想∠EPF 与∠EQF 的数量关系，并说明理由；6．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 里面相交于另一点G ．（1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．7．综合与实践4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2()ABCD AD AB =是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B 与D 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点,E 交BC 边于点F ，若1,AB =求CF 的长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ，连接,BE 判断四边形BFDE 的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．8．如图，90EOF ∠=︒，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ． （1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）；（2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；（3）设点P 到BD 的距离为h ，当15h OD =时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒43个单位长度的速度向终点A 运动，当点Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．9．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．10．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．11．问题提出（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，PDE ABMC 1S S 9=四边形． 13．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．16．在平面直角坐标系中，直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接FN ，求EFN 的面积．17．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．18．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积． 19．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45︒，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，B '，C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．20．在△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，点D 为BC 边上任意一点，连接AD ，将线段AD 绕A 顺时针旋转90°，得到线段AE ，连接DE ．（1）如图1，点E 落在BA 的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．（2）如图2，点D 在运动过程中，DE ⊥AC 时，AB=4 ，求DE 的值．（3）如图3，点F 为线段DE 中点，AB=2a ，求出动点D 从B 运动到C ，点F 经过的路径长度．21．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ．（2）若⊙O 的半径为5，求CA •CE 的最大值．（3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ，①求y 关于x 的函数解析式；②若CB BE ＝45，求y 的值． 22．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ； （2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．24．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．25．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线3,2x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．A解析：（1）图见解析，33cm ；（2）①25cm 42cm AB ≤≤26【解析】【分析】（1）连接AO ，直线l 垂直平分PO ．13cm 22OH PO ==，在Rt △AHO 中即可求解； （2）①分两种情况求解；②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ，与弧AB 交于点C ，与AB 交于点E ，过M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO ，得到OO'垂直平分AB ，O'为弧ABM 所在圆的圆心，10cm OO '=，在Rt △ADO 中即可求解；【详解】（1）如图，直线l 为所求，连接AO ．∵点P 与点O 关于直线l 对称， ∴直线l 垂直平分PO ．∴13cm 22OH PO ==． 在Rt AHO ∆中，∵222AH HO AO +=，∴2233cm AH AO HO =-=． 在O 中，∵PO AB ⊥，PO 为半径，∴233cm AB AH ==．（2）如图1：∵弧AB 翻折与M 重合，OM=1，∴DM=1，在Rt△ADO 中，AO=3，DO=2，∴5AD =如图2：∵弧AB 翻折与M 重合，OM=1，∴MD=2，DO=1，在Rt△ADO 中，AO=3， ∴22AD =，∴2542AB ≤≤， 故答案为2542AB ≤≤；（3）如图3：过O 作弦AB 的垂线与圆O 交于点C ，与AB 交于点D ，连接OM ，过点M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO ，∴OO'垂直平分AB ，O'为弧ABM 所在圆的圆心，∵折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，∴MO'=3，CO=EO'，在Rt△OO'M 中，OM=1，∴'10OO =，在Rt△ADO 中，10DO =AO=3， ∴26AD =， ∴26AB =26【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键．2．A解析：（1）A （0，1）（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°.（3）α+2β＝45°．【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质求出m、n的值，求出B、C两点坐标，由S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，推出12×2×4+12×OA×4＝6，求出OA即可；（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；【详解】解：（1）由题意2020nn-≥⎧⎨-≥⎩，，得，解得n＝2，∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．如图：∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴12×2×4+12×OA×4＝6，∴OA＝1，∴A（0，1）．（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝α，∵BE平分∠CBx，∴∠CBE＝∠EBx，∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，∵C（4，4），∴OC平分∠AOB，∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题．3．A解析：（1） A （12,0） B （72,0）；(2) ①233y x =-+，②24316373y x x =-+． 【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2，利用:3:4∆∆=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4，由△AOE ∽△AGC 可得13=AO AG ，进而求得OA 、OB 的长，即可求得点A 、点B 的坐标； （2）根据旋转的性质求出C 点坐标，利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标，，分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为24(0)=-+>y mx mx n m ，∴对称轴为直线422-=-=m x m， 如图，设对称轴与x 轴交于G ，则//CG y 轴，2OG =，∴△AOE ∽△AGC ，∴=AO AE AG AC， ∵:3:4ABC BCE S S =，∴CA :CE =3:4 ，则31AE AC =， ∴13==AO AE AG AC ， ∴1142==OA OG ，3342==AG OG ，则23==AB AG ，72=+=OB OA AB ， ∴A (12,0)， B (72,0)； （2）如图，设O 旋转后落在点Q 处，过点C 作CP y ⊥轴于点P ，由旋转的性质得：△BCO ≌△ACQ ，∴BO =AQ =72，CO =CQ ， ∴OQ =222271()()2322=-=-=AQ AO ∵CP y ⊥轴， ∴132==OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-，则3CG =由（1）得△AOE ∽△AGC ，13==OE AE CG AC ， ∴3OE =E 的坐标为3， ①设CE 的解析式为y kx b =+，分别代入C (2,3)-，E 3(0,3得： 2333k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：2333k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴CE的解析式为33y x =-+； ②将A (12,0)，C (2,分别代入24y mx mx n =-+得：120448m m n m m n ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为2y x x =+． 【点睛】本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式，正确的理解题意，熟练运算“数形结合思想”是解题的关键． 4．C解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3）65t -= 【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．【详解】解：（1）∵CE ⊥AB ，∴设直线CE 的解析式为：12y x c =-+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，∴直线CD 的解析式为：112y x =-+； （2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22xy=-⎧⎨=⎩，∴()2,2E-，易证EDM≌EAN，ENH≌EMG，∴AN=DM ，HN=GM，∴AH DG=，由直线CE的解析式112y x=-+，可求点D（0，1）∴DG=1—t，∴1d t=-+；（3）过点B作BT CM⊥于点T，在直线BT上截取TL NK=，易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，由（2）问可知1tAH GD==-，则6tHC=-∴6tBG MT==-，∴MN MT=，∵90KNM LTM∠=∠=︒，∴ENH≌EMG，∴LNKM∠=∠，设KMNα∠=，则KMB KMNα∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-，∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=， 在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得t =（不合题意舍去）或t =故，65t -=． 【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．5．E解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－12∠EPF 【解析】【分析】（1）如下图，过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF 内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP ；（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ 中得出结论；②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－1EPF 2∠，最后在四边形EPFQ 中得出结论． 【详解】（1）如下图，过点P 作PQ ∥AB∵PQ ∥AB ，AB ∥CD ，∴PQ ∥CD∴∠AEP=∠EPQ ，∠QPF=∠PFC又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF∴∠EPF=∠AEP+∠PFC如下图，过点P 作PQ ∥AB同理，AB ∥QP ∥CD∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°∵PF 是∠CFE 的角平分线，∴∠PFC=∠PFE在△PEF 中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC∴∠PEF=∠AEP ，∴PE 是∠AEF 的角平分线（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=150°在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2∠ ∴在四边形PEQF 中：∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】 本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．6．E解析：（1）详见解析；（2）52r =，552AC +=；（3）2AG AD CD =+，理由详见解析．【解析】【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证FEB ∆∽AOD ∆，求出BF 的长，再证BFE ∆∽BAC ∆，即可求出AC 的长；（3）过点F 作FR AC ⊥于点R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）如图，连接EF ，∵AE 平分BAC ∠，FAE CAE ∴∠=∠，FA FE =，FAE FEA ∴∠=∠，FAE EAC ∴∠=∠，//FE AC ∴，90FEB C ∴∠=∠=︒，又E 为⊙F 上一点，BC ∴是⊙F 的切线；（2）如图，连接FD ，设⊙F 的半径为r ，∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，1,2,1OA OD OF r ∴===-，5AD ∴=在Rt FOD ∆中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，222(1)2r r ∴=-+， 解得52r =， 即⊙F 的半径为52， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=︒，ODA EBF ∴∠=∠，90AOD FEB ∠=∠=︒，∴FEB ∆∽AOD ∆，EF BF OA DA ∴=，即2.515= 552BF ∴=， 555BA +∴=， //EF AC ，∴BFE ∆∽BAC ∆，EF BF AC BA∴=，即55522555AC =+ 552AC ∴= （3）2AG AD CD =+．理由如下：如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，∵∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 为矩形，EF RC RD CD ∴==+，FR AD ⊥，AR RD ∴=，12EF RD CD AD CD ∴=+=+， 22AG EF AD CD ∴==+．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．7．(1) CF 2 ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析【解析】【分析】（1）1AB =，则2AD =ABCD 是矩形，得到1,2CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则2FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)22212x x +=即可求解． （2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE DAB ，再根据2AD AB =，可得222OE AB OD AD ===，进而得到22OE OD =，22EF BD =，同理可得，22MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，2MF OD tan FEM ME OE ∠===，2MF ME =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"．【详解】解：()11,AB =则2,2AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,2CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =设CF x =，则2FB FD x ==-在Rt DCF △中，222+=CD CF DF()22212x x +=- 24x = 答：CF 长为24 ()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,BOF DOE ∴≅OE OF ∴=OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形.()3纸片ENFM 是“标准纸”理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON =∴四边形ENFM 是平行四边形90DOE DAB ∠=∠=︒DOE DAB ∴ 2AD =222OE AB OD AD ∴=== 2OE ∴= 22EF BD ∴=同理可得，22MN AC = 四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形. 90EMF ∴∠=.2,MF OD tan FEM ME OE∴∠=== 2MF ME ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．8．B解析：（1）35t ，45t ；（2）当0＜t ＜3时，224655S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052S t t =+-；（3）75；（4）132，7713，477 【解析】【分析】（1）过点B 作x 轴垂线，利用相似三角形可求得； （2）分2种情况，一种是点P 在AD 上，另一种是点P 在CD 上，然后利用三角形面积公式可求得；（3）直接令15h OD =即可求出； （4）存在3种情况，第一种是：QP ∥BD ，第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ，第三种是QE ∥BD ，分别按照几何性质分析求解．【详解】（1）如下图，过点B 作x 轴垂线，垂足为点M根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO ∽△DAB∵AB=4，AD=BC=3∴BD=5∵BM OM BO DA BA BD==，OB=t ∴BM=35t ，OM=45t （2）情况一：当0＜t ＜3时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N∵∠NDP=∠BDA ，∠PND=∠BAD ，∴△PND ∽△BAD∵AP=t ，∴PD=3－t ∵PN BA PD BD =，∴PN=()435t - 图中，OD=5+t ∴()()243124562555OBD t S t t t -=+=--+ 情况二：当3＜t ＜7时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N图中，PD=t －3，OD=5+t同理，△PND ∽△BCD ，可得PN=()335t - ∴()()23313395251052OBD t S t t t -=+=-+- （3）情况一：当0＜t ＜3时则h=PN=()435t - ∵15h OD =∴()43555t t -+= 解得：t=75情况二：当3＜t ＜7时则h=PN=()335t - ∵15h OD =∴()33555t t -+= 解得：t=7(舍)（4）情况一：QP ∥BD ，图形如下由题意可得：BQ=43t ，AP=t ，则QA=4－43t ，DP=3－t ∵BD ∥QP∴QA PA QB PD= 代入得：4()2243t t =-解得：t=32∴OD=5+t=132 情况二：如下图，EP ∥CD(或EQ ∥CB)∵点E 是点A 关于QP 对称的点 ∴EP=PA ，EQ=QA ，QP=QP ∴△APQ ≌△EPQ∵EP ∥CD ，CD ⊥AD∴EP ⊥AD∴∠APQ=∠EPQ=45°∴△AQP 是等腰直角三角形，AQ=PA ∴4－43t t = 解得：t=127∴OD=5+t=477 情况三：如下图，QE ∥BD ，延长QE 交DA 于点N∵△APQ ≌△EPQ ，∴∠QEP=∠QAP=90°∴△ENP 是等腰直角三角形∵QN ∥BD ，∴∠NQA=∠DBA ，∠A=∠A∴△QNA ∽△BDA∵BQ=43t ，AP=t ，QA=4－43t ，DP=3－t ∴QN QA AN BD BA AD== ∴QN=5－43t ，NA=3－t ∴EN=QN －QE=QN －QA=1－3t ，NP=NA －AP=3－2t ，EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中，()2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解得：t=1213或t=3(舍) ∴OD=5+t=7713 【点睛】本题考查动点问题，解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来．9．A解析：（1）详见解析；（2）2448x x y -+=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ，∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴)244804x x y x -+≤＜；（3）①当AE=EG时，△AEG是等腰三角形，则AE=OE，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴2421482x xxPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS ），∴EQ AO ==∴2AE E Q ===∴43x =， ∴BF=2或43． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．E解析：（1）EF =，见解析；（2）BK =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②14 【解析】【分析】（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到AE =，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；②由三角形的面积公式得到1DH =，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）EF =；理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，120BAD ︒∴∠=，∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，90AEB AFD ︒∴∠=∠=Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，60EAF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等边三角形，EF AE ∴=.连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=3AE EC ∴=，3EF EC ∴=（2）如图：∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ，1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=， 3AF ∴=在Rt ABF 中，22BF AB AF =+7BF ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，90AKB FAB ︒∴∠=∠=ABK FBA ∠=∠~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆， AB BK FB BA∴=， 27BK a ∴=， （3）如图：①AGH 是等边三角形.理由：连接AC .,60AB BC ABC ︒=∠=，ABC ∴为等边三角形，,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，120ABG ︒∴∠=.//AB CD ， 60BCH ABC ︒∴∠=∠=，120ACH ︒∴∠=ABG ACH ∴∠=∠，又BG CH =，ABG ACH ∴≅，,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，AGH ∴为等边三角形；②ADC 为等边三角形，2,1AD DC AC CF DF ∴=====，3AF ∴=.1(33)2ADH S =， 113(33)22DH ∴⨯=，1DH ∴=1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=AF HF ∴=，AHF ∴为等腰直角三角形，45AHF ︒∴∠=.过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .在Rt CMH 中，sin CM CHM CH∠=， 12CM ∴=， 在Rt AMC 中，sin CM MAC AC ∠=， 1sin 4MAC ∴∠=. 又GAB HAC ∠=∠， 1sin sin 4GAB HAC ∴∠=∠=； 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．11．B解析：（1）12；（2）3）【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =， 42AB =，2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222DH OD QH DH ∴==∴==，。