ΣX 217.40 216.20 213.20 214.40 nk=12
(ΣX)2 47262.76 46742.44 45454.24 45967.36 185426.80
1 2 3 4 n ΣX ΣX2 X
n
4 283.9 20151.51
4 290.50 21098.45
4 286.80 20564.90
SSB
n
n
SSW
2 X X 2
n
2
SST X
2
X
n
dfT dfB dfW
组间自由度
dfB k 1
组内自由度
dfW n k
dfT n 1
总自由度
计算方差 组间方差
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW
ij X t k n
X
n j 1 i 1
ij X j
n X
k j 1
j
Xt

2
令SSt X ij X t
j 1 i 1


2
总平方和,自由度为N 1,
k
SS b n X j X t
j 1 k n
k


2
n X j X t
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实 验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设 计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
随机区组设计中平方和的分解：
SST SSB SSR SSE
SST
2 X X 2
Fmax
2 S max 2 S min
各组容量不等时，用最大的n计算自由度
df n 1
二、单因素完全随机设计的方差分析
完全随机设计(Complete randomized design):把被试随 机分成若干组,每个组分别接受一种实验处理。完全随机分 组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计 又称“ 独立组设计” 或被试间设计。 该设计的不足之处：误差项既包括实验本身的误差又 包括个体差异引起的误差，因而它的检验效率往往不高。
185426 .80 861.202 3 12
3.48
SSE SST SSB SSR 9.41 5.47 3.48
0.46
3、确定自由度
dfT nk 1
12 1 11
dfB k 1 3 1 2
dfR n 1 4 1 3
2 n i 1
j
Xt
2 X
2
Xt
X
n i 1
ij
Xj

X ij X j 0,
i 1 n


X ij X t
i 1

X
2 n i 1 2 k
ij X j
n X
2 2
j
Xt

2
对ｋ组求和 ,
X
k n j 1 i 1
2、方差分析的逻辑基础
所有数据总的变异来源于两部分：实验处理的不同（组 间变异）、各组内被试的个体差异（组内变异）。 如果能证明组间变异对总变异的贡献大于组内变异，即 证明了引起因变量变化的主要原因是自变量的变化。 变异的分解（平方和的分解 ） 平方和的优越性在于其可加性 方差只有在自由度相等时才可加
组内方差 计算F值
MS B F MSW
进行F检验
•如果F1, 说明数据的总变异中大部分是由实验误差或个体 差异造成的,不同的实验处理A、B、C之间差异不大，即实
验处理基本无效；
•如果F>1且落入F分布的临界区外,即只有实验处理的作用
显著地大于组内变异的作用时,才能确认实验处理的有效作
用, A、B、C三种处理之间的差异显著。 •方差分析的主要任务是检验组间方差在统计上是否显著地 大于组内方差。
例：研究人员采用四种不同的心理治疗方案， 对每个志愿参加治疗的患者进行心理治疗。他们 用录音机记录了每个被试在一段时间中所讲的词 数。由于录音的困难每种方案记录的人数各不相 同，问这几种方案是否有差异？
序号
治疗方案
X1
1 2 3 30 74 46
X2
50 38 66
X3
18 56 34
X4
88 78 60
dfE dfT dfB dfR 11 2 3 6
4、计算方差（均方）
SSB 5.47 MSB 2.74 dfB 2
3.48 SSR 1.16 MS R 3 dfR
SSE MS E dfE
0.46 0.08 6
5、计算Ｆ值、进行Ｆ检验 组间方差与误差方差的Ｆ比值
n
n
SSW X 2
2 X 76444 71657 .5 4786 .5
n
SST
2 X X 2
n
1258 76444
23
2
7636 .9
dfB k 1 4 1 3
dfW n k 23 4 19
ＸA 71.1 71.5 70.1 70.5
ＸB 73.4 72.5 72.3 72.2
ＸC 72.3 72.1 70.8 71.6
表： 4位空管员抗压力测试的方差分析计算表
学生 序号
ＸA 71.1 71.5 70.1 70.5
ＸB 73.4 72.5 72.3 72.2
ＸC 72.3 72.1 70.8 71.6
表： 四组记录数据的完全随机设计方差分析表
变异 来源 组间 变异 组内 变异 总变异
平方和
自由度
方差
F 值
概率
2850.4
3
950.1 3.77* P<0.05
4786.5 7636.9
19 22
251.9
三、单因素随机区组设计的方差分析 （repeated measures analysis of varicace）
dfT n 1 23 1 22
3、计算方差并进行F检验
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW


2850 .4 950 .1 3
4786 .5 251 .9 19
MS B F MSW
950 .1 3.77 251 .9
4、做统计决断,列方差分析表
在完全随机设计中,SSt=SSb+SSw,即总变异=组间 变异+组内变异。实际上，这时，组内变异不仅反映了实 验的随机误差，而且还反映了实验组内被试间 个体差异。 单因素的完全随机化实验设计把可以控制的个体差异作为 随机误差而不加以控制，从而增大了实验误差，使F检验 不敏感。 随机区组设计就是要从实验误差中将被试的个体差异 区分开来，从而增加实验数据的有效信息，降低实验误差。
2 X =71657.5
X 2
n
n
1．提出假设
H0：μ 1＝μ 2＝μ 3＝μ 4 （或：无处理效应）
H1：至少有两个总体平均数不等（或：有处理效应）
2．计算平方和、自由度
2 2 X X 71657 .5 68807 .1 2850 .4 SSB
一、方差分析的基本原理
1、方差分析中的几个概念
实验中的自变量称为因素。只有一个自变量的实验称 为单因素实验，两个或两个以上称为多因素实验。 某一因素的不同情况称为因素的“水平”。 每一个实验条件称为实验处理。单因素实验中因素的 一个水平就是一个实验处理，多因素实验中不同因素的不 同水平的交叉形成不同的实验处理。 自变量影响的结果因变量。
4
5 6 7
ni
ΣX
58
62 38
6
62
44 58 80
7
24
66 52
6
76
4
Σn＝23 ΣΣX＝1258
308 51.33
398 56.86
250 41.67
302 75.5
X
X 2
17144 2857.33
23844 3406.29
12252 2042
23204 5801
X 2 =76444
MS B 2.74 F 34.25 MS E 0.08
区组方差与误差方差的Ｆ比值
1.16 MS R 14.50 F 0.08 MS E
对区组间的差异进行检验，主要是考察区组 之间在水平上是否存在显著性差异区组间差异的 显著与否并不影响各种实验处理间平均数差异的 显著性。
6、列方差分析表 4位空管员抗压力测试的方差分析表
n
dfT nk 1
SSB
2 X
n
2 X
n
dfB k 1
dfR n 1
SSR
2 X
k
2 X
nk
SSE SST SSB SSR
dfE dfT dfB dfR
n为区组数，k为实验处理数
计算方差、进行F检验
2、计算平方和
SST
2 X X 2
n
861.202 61814 .86 12
9.41
SSB
2 2 X X
n
n
861.202 61810 .92 12
5.47
SSR
2 2 X X
k
nk
3、方差分析的过程
建立假设
H0：无处理效应
H1：有处理效应