试验指标——试验中要考察的指标.
因 素——影响试验指标的条件.
因
可控因素
素
不可控因素
水 平——因素所处的状态. 单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示.
因 素A S A 误 差 SE 总 和 ST
s1
SA
SA s1
ns SE
SE n s
n1
F比 FSASE
三 方差齐性检验
H0 :12 22 s2 H1 :12,22,s2不全相等
四 多重比 较
方差分析拒绝 H 0 ，从而接受 H 1 时，认为各水 平均值不全相等。多重比较是通过对各均值之间的配对 比较来进一步检验到底那些均值之间有显著差异
2.不同水A平j下的样本之间相互 . 独立
单因素试验方差分析的数学模型
Xij j ij ,
ij～N(0, 2),各ij 独立,
i 1,2, ,nj , j 1,2, ,s,
j 与 2 均未知.
需要解决的问题
检验假设
H0:1 2 s, H1:1,2,,s不全相 . 等
数学模型的等价形式
Factor:选入需要比较的分组因素， 只能选入一个。
其他操作
【Post Hoc】 多重比较检验 Equal Variances Assumed:当各组方差齐时可用 的两两比较方法，共有14中种这里不一一列出了， 其中最常用的为LSD和S-N-K法。 Equal Variances Not Assumed:当各组方差不齐 时可用的两两比较方法，共有4种，其中以 Dunnetts's C法较常用。 Significance Level: 定义两两比较时的显著性水 平，默认为0.05。
试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响.
表1 铝合金板的厚度
例1
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.257
0.258
0.238 0.248 0.245 0.243
0.253 0.255 0.254 0.261
0.264 0.259 0.267 0.262
记 nj s1nj,n 1j s1njj.
总平均
水平 A j的效 应 , 表示水平
A
下的总体
j
平均值与总
平均的差异
.
jj ,j 1 ,2 , ,s .
n 1 1 n 2 2 n s s 0 .
原数学模型 Xij j ij,
ij～N(0, 2), 各ij 独立,
i 1,2, ,nj , j 1,2, ,s,
第七章 方差分析
本章主要内 容
单因素试验的方差分析 两因素试验的方差分析
协方差分析
第一节 单因素试验的方差 分析
概述
一、单因素试验 二、平方和的分解 三、方差齐性检验 四、多重比较
一、单因素试验
机器设备
反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度 操作水平
反应温度
压力
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
H 0 ij: i j, H 1 ij: i j
多重比较
最小显著差异法 (LSD)
t
(Xi
Xj
)(i
j
)
~t(nr)
MS(E1 1)
ni nj
多重比较
步骤
１．提出 H 0 和 H 1
H 0: ij, H 1: ij
２．计算 LSD
LSDt(nr)
３．若
2
MS(1E1) ni nj
问题分析
将数据看成是来自三个总体的样本值. 在每一个水平下进行独立试验,结果是一
个随机变量. 设总体均值分 1,2别 ,3.为
检验假设
H0 :1 2 3, H1 :1,2,3不全相. 等
数学模型
设 A 有 s 个 因 A 1 ,A 2 水 素 , ,A s ,在 平 A j( j水
1 ,2 , ,s ) 下 ,进 n j(n j 行 2 ) 次独 ,得 立 到 试
的结果.
表2
观察结果 水平
A1
A2
As
X 11
X 12
X 21
X 22
X1s X2s
样本总和 样本均值 总体均值
X n1 1 T •1 X 1•1
X n2 2
T•2
X
•2 2
X nss T•s X •s
s
假设 1.各个A 水 j(j平 1,2,,s)下的X 样 1j,X本 2j,
,Xnjj来自具有相 2,均同 值方 分 差 j(别 j1,为 2,,s)的正态 N(总 j,2体 ), j与 2均未 ; 知
二、平方和的分解
s nj
ST
(Xij X)2
j1 i1
—总平方和
SESA
s nj
SE
(Xij X•j)2 —误差平方和
j1i1
s n j
s
S A (X •jX )2 n j(X •jX )2
j 1i 1
j 1
s
njX•j2 nX2 —效应平方和
j1
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均 方
其他操作
【Options】 选项
Statistics: 选择一些附加的统计分析项目，有统计描述 （Descriptive）和方差齐性检验（Homogeneity-ofvariance）。
表1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
ห้องสมุดไป่ตู้
0.236
0.238 0.248 0.245 0.243
0.257
0.253 0.255 0.254 0.261
0.258
0.264 0.259 0.267 0.262
试验指标: 薄板的厚度
因素: 机器
水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平
假定除机器这一因素外, 其他条件相同, 属于 单因素试验.
Xi X j LSD
则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0
多重比较
其他检验方法 Bonferroni方 法 Turky方法 Scheff方法 S-N-K方法
基本操作
AnalyzeCompared Means One-Way Anova
Dependent List: 选入需要分析的变量，可选入多个 结果变量（因变量）。
改写为
j 与 2 均未知.
X ij j ij ,
i
ij～N (0, 2
1, 2, , n
), j,
各 ij 独立 ,
j 1, 2, , s
,
s
nj j 0.
j1
检验假设
等价于
H0:1 2 s, H1:1,2,,s不全相 . 等
检验假设 H0:1 2 s 0, H1:1,2,,s不全为 . 零