《线性代数》模拟试题八
一、填空题(每小题3分，共15分)
1．设矩阵A = ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛100012021，B =
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛310120001，则A + 2B = .2．设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013α，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为
( ).
3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一
个解，则k 1+k 2 = (
).
4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为(
).
5．若实对称矩阵A = ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足(
).
二、单选题(每小题3分，共15分)
1．设行列式
2
2
11b a b a = 1，
2
2
11c a c a = 2，则
2
22
111c b a c b a ++ = ( D ).
(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3
2．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4321，则A = ( D ).
(A) 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321 (B) 21
4321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (C) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛432121 (D) 1
432121-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( C ).
(A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例
(C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
4．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1| = ( A ).
(A) 121 (B) 7
1 (C) 7 (D) 12
5．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B = ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-200010001合同，则二次型x T Ax 的规范形为( B ).
(A) 2322212z z z ++- (B) 232221z z z ++- (C) 232221z z z +- (D) 2
3
2221z z z -+ 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.
1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则(ABC )T = A T B T C T . ( × ) 2．设A 为3阶方阵，且已知|-2A | = 2，则|A | = -1. ( × )
3．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组线性无关. ( √ )
4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E | = 0，则A 必有一个特征值为
3
2
. ( × ) 5．二次型31212
32221
32142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛104012421. ( × ) 四、 (10分) 求4阶行列式
1
111112113114
111的值.
解：
五、(10分) 设2阶矩阵A 可逆，且A -1 = ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛21
21
b b a a ，对于矩阵P 1 = ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1021，P 2 = ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0110，令B = P 1AP 2，求B -1.
解：由已知，有
= ，. 由于
，于是
.
六、(10分) 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21233t α，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=t 10624α，试确定当t 为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.
解：
,
于是，只有在t – 2 = 0, 即t = 2时
，进而线性相关.
此时，可选
为极大无关组
七、(15分) 设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321ax x x x ax x a x x x
(1) 问a 为何值时，方程组有无穷多个解.
(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).
解： (1) 将增广矩阵B 化为
.
若，则，原线性方程组只有唯一解. 只有在a = 1时，原线性方程组有无穷多个解.
(2) 当a = 1时，原线性方程组与同解. 取为自由未知量，令得特解为. 分别令的基础解系为. 于是通解为
，其中为任意常数.
八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠λ2.
证明p1- p2不是A的特征向量.
证明：假设是A的对应于的特征向量，即. 由于
，
所以，于是0. 根据特征值的性质，知
，进而，矛盾。